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A 回答 (5件)
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No.3
- 回答日時:
ユークリッドの互除法で求まります。
F=3x^3 − ax^2 − 5bx + (2ab − 27c) ,Φ= −3x^2 − 2ax + (a2 − 4b)。No.2
- 回答日時:
No.1へのコメントについてです。
> それが大変
あー、いや、すいませんね。どういうレベルの方のご質問なのか、分からんもんですからね。
えーと、
F(x) = p x^3 + q x^2 + r x + s
Φ(x) = p x^2 + t x + u
としてF(0)f(0) + Φ(0)φ(0) を考えれば、
D = c s + ( - 4 a c + b^2) u
すなわち
(D - c s)/( - 4 a c + b^2) = u
です。てことは、Dを( - 4 a c + b^2)で割った商がu、(余り/c)がsとか、なんかそんなんじゃないかな、ということになる。実際に割り算すると
(D - (2 a b - 27 c)c)/(- 4 a c + b^2) = a^2 - 4 b
なので
s = 2 a b - 27 c
u = a^2 - 4 b
とすると丁度収まる。というわけで、定理が成り立つのであればs,uはこれだな。
以上で、p,q,r,t,の4つの未知数に対して5本の方程式がある、という状態になったから、これに整数解があることが言えればめでたし、です。
もちろん、これでもしんどいでしょうから、ま、がんばれ。
No.1
- 回答日時:
多項式の恒等式。
Ffと-Φφをそれぞれxに関する6次の多項式で書けば、定数項以外については各項ごとの係数がどれも丁度同じである。で、定数項だけが残ってこれがDになる。つまりΦ(x)=αx^2 + βx + γ
F(x) = Px^3 + Qx^2 + Rx + S
として、多項式 Ff+Φφ - D を作れば、どの項の係数も0、という条件から7個の方程式が得られ、7つの未知数α,β,…,Sが決まる。いやもちろん、未知数が全部整数だという条件を満たすかどうかの確認を要する。あとは頑張れ。
という話のようで。で、頑張れ。
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