力学についてです。

院試の勉強をしていて力学が苦手でこの手の問題がどうもできません。
力を貸していただきたいです。
図はファイルの方を参考にしてください。
O点から見た質点の加速度を写真のX'Y'Z'方向それぞれについて書き、質点の運動方程式を求めよという問題です。
また、r,wは時間の関数です。
どうぞよろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• こちらが問題文です。
  よろしくお願いします。

  
    補足日時：2018/07/15 20:15

• 画質が悪かったので貼り直しました。

  
    補足日時：2018/07/15 20:17

No.3 ベストアンサー 回答者： cametan_42 回答日時： 2018/07/17 03:11

うーん、物理久しぶりだから解けるかしら・・・。

まずこういうのって、図を描きながら解く、ってのが定番なんだけど、教えてgooだと図貼り付けるのが困難だからイマイチですね。
だから図を描いてみてください。

とは言っても。ヒントしか出さないですし、ぶっちゃけ実は内容の殆どは「物理」と言うより数学なんですよね。
概念的に「物理」が必要なトコありますが、(1)は特に数学です。
そして(1)の部分さえできれば後は芋づる式に解けちゃうかもしれません。

概念的には、

距離->(微分)->速度->(微分)->加速度

の関係があるのは分かるでしょうか。
ここで微分に関して不安なら一回微積の教科書読み返してみてください。
もう一つ重要なのは「座標」の概念、そして「座標の変換」です。

通常、数学の問題なんか解く場合は固定座標を使って、いわゆる直交座標系を使うんですが。
この問題を見ると「頂点(O点)から見た質点」と言う大変クソメンド臭い事を申しております(笑)。
これどーゆー事か、と言うと、座標自体が質点に合わせて「Z軸を中心として回転してる」って事を言ってるんですよね。
だからX軸、Y軸、Z軸、と言わずに(慣用的に)X'軸、Y'軸、Z'軸、つってんですよ。

ちょっと基礎的な事をおさらいしておきましょう。
今は取り敢えずZ'軸は忘れておいて、高校時代に良く描いてた、XY座標で、原点を中心とした半径rの円を描いてみて下さい。
適当な円周上の点について考えてみます。

高校数学が教えるトコに依ると、円周上の任意の点は半径rとX軸がおりなす角度φを用いると

(x, y) = (r*cosφ, r*sinφ)

と書き表す事が出来ます。・・・・これは良いですよね?
そして「位置」を微分すると「速度」になるわけですが、簡単の為にrは「定数」、つまり時間変化しない、と言う前提にします。そして、ここでは「'」を時間微分記号とします。
そうすると円周上をその点・・・質点としますが、が移動するとして、

(x', y') = (-r*φ'*sinφ, r*φ'cosφ)

これが円周上を移動する質点の速度、になります。
ただ、これはあくまで「固定座標」で、って事ですね。問題と似たカンジで、座標自体が質点の移動と共に「回転」すればどうなるのか・・・同じ事を書き表しても座標によっては「見え方」が変わってくるんですよ。
一般に、こういう場合は「回転行列」と言うのを用いて、

(x_rot') = (cosφ　sinφ)(x)
(y_rot') 　 (-sinφ cosφ)(y)

として「座標変換」してしまうのです。
計算自体は自分でやってみてほしいんですが、

(x_rot') = (0　)
(y_rot') 　 (rφ')

になるはずです。つまり質点に従って回転させた座標上では「中心方向には全く動かない」けど「円の接線方向には移動する」と言う「数学的結果」が分かります。

同様に固定座標上でのxとyの二階微分、つまり加速度ですね、これを求めようと思いますが、簡単の為にφ'=ωとして、これも「時間に依らない定数」とします。
そうすると、

(x", y") = (-r'*(ω^2)*cosφ, -r*(ω^2)*sinφ)

となりますね。そして座標変換を施すと

(x_rot") = (-r*(ω^2))
(y_rot") 　 (0　　　)

となるでしょう。x_rot"にマイナス記号が付いてるのは、単純に座標を回転させただけ、なので、中心方向から離れると「正」になってるからです。言い換えると「中心に向かって」r*(ω^2)の加速度がある、って事を意味してて、同時に円の接線方向には全く加速度が無い、と言ってるのです。
これが高校物理に出てくる「等速円運動」の公式の秘密です。あれはこうやって求めてます。

さて、この問題では「rは時間の関数でありωも時間の関数である」と言う設定です。つまり「等速」円運動ではありません。しかし計算手順は全く同じですね。
要するにここで出てくるのは「物理の問題」じゃなくって「微分公式を知ってるかどうか」ってのが鍵となります。その名も「合成関数の微分」です。
僕の計算が間違ってなかったら、X'軸方向の加速度はr"-r*ω'^2、Y'軸方向の加速度は2*r'*ω'+r*ω"^2になってるんじゃないですかね・・・計算間違いと写し間違いがなければ、ですが。

さて、残るはZ軸ですが。
図1でも図2でもイイんですが、質点の「高さ」をhとすると

r = h*tanθ

の関係がありますね。つまり

h = r*cotθ

です。この「高さ」がZ'軸に於ける質点の「位置」です。
そして「位置」が分かる以上、Z'軸方向の「速度」も分かり、加速度も分かります。また微分ですね。
ただし、X'軸方向やY軸方向と違い、θは「定数」です。つまりcotθ自体は「係数扱い」にしてこれは微分対象になりません。何故ならこの問題の円錐は「時間変化しない」からです。
従って、Z軸対象の加速度はr"*cotθになるでしょう。

あとは想像して(つまり思考実験して)質点がどう動くのか考えてみて下さい。
「摩擦がない」、そして抗力と重力しか働かない場合、初速度を与えられた「質点」は円錐状を回転しながら頂点(O)を目指して滑り落ちていく筈です・・・・・・。

この回答へのお礼

こんな丁寧に本当にありがとうございます…
最初から最後までとてもわかりやすかったです。
答も同じ結果になりました。
本当にありがとうございました。
これで院試に向けてより一層頑張れそうです。

お礼日時：2018/07/17 12:43

No.2 回答者： runix2007 回答日時： 2018/07/15 22:55

そうだね

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/07/15 20:04

逆円錐が回転運動をして、その「内面」に質点があるということですか？

摩擦などの条件はどうなっているのでしょうか？

「w」ではなく「ω（オメガ）」ですね？
質点の運動はωの大きさによって変わりますが、「時間の関数」として何らかの条件が与えられているのですか？

「r」についても何か条件があるのですか？

これだけの「条件不足」で何らかの結論を出せというのは無理ですよ。
それとも、その「条件設定」も自分でやって、ということですか？

この回答へのお礼

自分の説明不足でした。
すいません…
問題文の方を補足で追加したのでそちらを参考にして頂けるとありがたいです。
ご指摘ありがとうございます！

お礼日時：2018/07/15 20:14