数値代入法による恒等式の解説を見ると、十分性の確認とかってよく見るんですけどどういう意味でしょうか？

数値代入法による恒等式の解説を見ると、十分性の確認とかってよく見るんですけどどういう意味でしょうか？
十分条件の確認という解釈で良いのでしょうか？
この場合十分条件は何になるんでしょうか？
回答よろしくお願いしますm(_ _)m

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/08/11 11:59

x²-3x+2=0:これはx=1or2の時しか成り立たない方程式・・・①

x²+2x+1=(x+1)²：これはすべての実数ｘについて成り立つ恒等式・・・②

数値代入法で仮にｘの2次式ならば、異なる2個のｘだけで等式成立を確認した場合
偶然にも①のように2次方程式の解2つについて調べたので等式が成り立ってしまったという可能性がある→このとき等式は恒等式ではなく2次方程式。
でも、2次の恒等式でも調べた2個のｘについて等式が成り立つ。
つまり2個のｘだけを調べて等式が成り立つことを確認した場合、その等式は方程式または恒等式（どちらかは確定できない）
→2個のｘについて成り立つだけで等式が恒等式と言うには十分とは言えないが、2個のｘについて成り立つことは必要なことではある。⇒必要条件
十分条件ではないので、恒等式であることをしっかり確認して初めて十分　となります。

なお、数値代入法で十分条件となるためには2次方程式が解2個についてしか成りたたないのだから、それよりも１つ多い3個のｘについて等式が成り立っていれば、それは方程式でなく恒等式で、これが十分条件です。
つまりｘのn次式についてnこのｘについて等式が成り立つとした場合は、恒等式となる条件としては十分とは言えず、実際に恒等式であることの確認が必要
n+1こ(以上）のｘについて等式が成り立つとした場合は、恒等式となる条件としては十分なので確認は不要

この回答へのお礼

疑問が解決しました！ありがとうございますm(_ _)m

お礼日時：2018/08/11 12:32

No.3 回答者： afilter 回答日時： 2018/08/11 12:30

多項式が恒等式であることの確認だと思います。

f(x),g(x)が共に多項式である場合を考えます。
h(x)=f(x)-g(x)
がｎ次多項式であるとすれば、h(x)=0の相異なる解は高々ｎ個です。したがって、相異なるn+1個のxに対してh(x)=0となれば、h(x)のx^k(k=0,1,・・・,n)の係数が全て０となり、f(x)とg(x)の対応する項の係数が全て等しいことが分かります。

もう少し詳しく説明すると、次のようになります。
h(x)=Anx^n+A(n-1)x^(n-1)+・・・・+A0
とします。相異なるxk(k=1,2,・・・,n)に対してh(x)=0であるとすると、因数定理により、
h(x)=An(x-x1)(x-x2)・・・・(x-xn)
となります。xk(k=0,1,・・・,n)とは異なるx(n+1)に対して
h(x(n+1))=An(x(n+1)-x1)( x(n+1)-x2)・・・・(x(n+1)-xn)=0
であれば、An=0となり、恒等的にh(x)=0　
すなわち、恒等的にf(x)=g(x)となります。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/08/11 11:51

随分端折った質問ですが

式が任意に変化できる変数と、未知の定数を含んでいて、定数をどの様に決めたら
式が任意に変化する変数に対して恒等式になるのか

という話なんでしょうか?

数値代入法では、任意に変化できる変数に具体的な値を幾つか与え、
未知の定数が満たすべき方程式を必要なだけ作って
定数を求めるだけですが、それだけでは、任意に変化できる変数の
特定の値で式が成り立つことを保証しているだけで、
任意の値での保証は有りません。つまり

恒等式であること→定数がある値であること
は確認出来ましたが
定数がある値であること→恒等式であること
は確認出来ていません。

充分性の確認とは

「定数がある値であること」を充分条件として
「恒等式であること」が導けることを保証することです。

普通、定数に値を代入して、式の左右が一致することを
確認します。

この回答へのお礼

粗雑な質問に答えて頂きありがとうございましたm(_ _)m参考になりました。

お礼日時：2018/08/11 12:31