代入法なのに、逆の確認をしない？？

代入法なのに、逆の確認をしない？？

x^n(n>=2)をx^2-x-12で割ったときの余りを求めよ。

(1)x^nをx^2-x-12で割ったときの商をQ(x),余りをax+bとすると、等式x^n=(x+3)(x-4)Q(x)+ax+bが成り立つ。
x=-3,x=4を両辺に代入すると
a=4^n-(-3)^n/7,b=3・4^n+4・(-3)^n/7・・・(1)
ゆえに求める余りは｛4^n--(-3)^n/7｝x+3・4^n+4・(-3)^n/7

教えてほしいところ
恒等式である→x=-3.4を代入して成り立つとしてx=-3,4を代入して成り立つようなa,bを求めていますよね。
それは、x=-3,4しか成り立たないという可能性も残されていますよね？？
代入法を用いているのに、逆の確認をしないんでしょうか？？

No.4 ベストアンサー 回答者： momordica 回答日時： 2010/10/13 01:20

与式が恒等式になるという条件を満たすa,bの組が必ず存在するということが

予め分かっているからです。
整式の割り算が必ずできることは保証されていますから。

数値代入法で得られた
　a=4^n-(-3)^n/7、b=3・4^n+4・(-3)^n/7
というのは、確かにこれ自体では必要条件にすぎません。
しかし、それは逆にいえば、それ以外の可能性はすべて否定されるということ、つまり
aとbがこれ以外の組であった場合には与式は恒等式にならないということです。ここでもし、
　a=4^n-(-3)^n/7、b=3・4^n+4・(-3)^n/7
のときにも与式が恒等式にならないと仮定すると、条件を満たすa,bの組は存在しない
ということになり、条件を満たすa,bの組が必ず存在するという既知の事実に矛盾しています。
したがって、
　a=4^n-(-3)^n/7、b=3・4^n+4・(-3)^n/7
のときにも与式が恒等式にならないという仮定は間違っており、特に確かめてみずとも
　a=4^n-(-3)^n/7、b=3・4^n+4・(-3)^n/7
のとき、与式は恒等式になるといえます。

ちょっと前によく似た内容に関する質問をされていたように思うのですが、
例えば、ある等式が恒等式になるように定数aの値を求めるような問題で、数値代入法で
aの値を求めてから、後で逆を確かめることの目的は、
　「aがどんな値であっても与式は恒等式にならない」
という可能性を否定することです。
それが最初から否定できる明確な根拠がある場合は、確かめは要りません。
aがある値である場合以外のすべての可能性が否定された時点で、いわゆる消去法で
その値が条件を満たすことが言えるわけですから。


逆に、例えば、
　a(x^2+3x+2)+b(x^2-x-2)=x^2+x
とか
　a(x^2+3x+2)+b(x^2-x-2)=x^2+x+１
のような式が恒等式になるようにa、bを定める場合などは、条件を満たすa,bが
存在するかどうかは、自明ではありません。
実際、１つ目の式はa=b=1/2が答ですが、２つ目の式はa,bにどんな数を入れても
恒等式にはなりません。
このような問題に関しては、もし数値代入法でaとbの値が１つに絞れたとしても、
それで本当に恒等式になるかどうかは、確かめてみる必要があります。

No.3 回答者： dfhsds 回答日時： 2010/10/13 00:06

x^nをx^2-x-12で割ったときの余りは、1次式なので、

ある実数a,bが一意的に存在して、ax+bとかけるから。

a,bが１組求まれば、それが解になります。

なお、n=0,1でも成り立ちます。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/10/12 23:21

「異なる 2点を通る直線は 1本しか存在しない」から... と言っていいのかなぁ?

No.1 回答者： passport4000 回答日時： 2010/10/12 21:55

説明していきます。

問題から、
x^n=(x+3)(x-4)Q(x)+ax+b
とおけます。

ここで重要なのが、aとbは定数であるということ、つまり、aもbもxによらない値だということです。(というか、そう設定しなければダメです。)

よって、x＝4を代入しようが、何しようが、aもbも全く影響を受けることなく出てきてくれます。

以上です。