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数学A 円順列の問いです。
6個の宝石から4個取り出し、並べる方法は何通りあるか。

画像は解答です。なんで4なのか、どうして割るのか、せつめいしていただきたいです。

「数学A 円順列の問いです。 6個の宝石か」の質問画像

A 回答 (5件)

円順列を正しく理解していないので分からなくなります。

n個の宝石を一列に並べる場合はn!通りですが
n個の宝石を円形に並べる場合は(n-1)!通りです。一列に並べる場合のn!をnで割った値です。
何故nで割るのか。円形にn個の宝石を並べた場合、n回回転対称軸が円の中心にできます。n回回転対称軸
とは1回転する内にn回見分けのつかない状態があると言うことです。円順列の場合n回余分にカウントしているのでn!÷n=(n-1)!となります。
さて、この問題では6個の宝石から4個取り出し、一列に並べる方法は6x5x4x3ですが、4個は円形に並べるので4回回転対称軸が円の中心に出来て、1回転する内に4回見分けのつかない状態があります。
よって、6x5x4x3は4回余分にカウントしているため4で割ります。

となります。
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(´・ω・`)

「数学A 円順列の問いです。 6個の宝石か」の回答画像5
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「一列に順番に並べる」なら 6P4 です。



問題の場合には、問題文が示されていませんが、「一列」ではなく「ネックレスのように円環に並べる」ということですよね?
(肝心な問題文を表示せずに「解答・解説」だけ示されても本来は回答できないのですが、最大限に忖度して回答しています。「宝石」なので「ネックレスだな」と想像できます)

「円環・輪っか」であれば、「裏返し」「回転」すると、既にカウントとした並びと同じになる並びがあります。それが、各々の並びに対して4種ずつあるということです。
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6P4は異なる6個から4個を選んで1列に並べる場合の数です。


この中には
ABCD
BCDA
CDAB
DABC
が含まれています。
これらを、真っ直ぐ1列に並べるのではなく、円形に並べた場合
これら4つは回転するとみな一致するので同一の物とみなします。
つまり、円形に並べた時上に示した4通りは重複するのです。
これが、円順列での扱い方です。

選ぶ4個が、ABEFの場合などでもやはり上と同じで、4通りずつ重複があることになるので、
6個から4個を選んで円形に並べる場合はこの(4通りずつの)重複を解消してあげるために4で割ってあげる必要があるのです⇒6P4÷4=6P4/4

なお、これは公式化されているので、円順列の公式を教科書などで確認しておくと良いですよ!^^
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1. ABCD


2. BCDA
3. CDAB
4. DABC


円にすると

 A
D B
 C

 B
A C
 D

 C
B D
 A

 D
C A
 B
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