No.4ベストアンサー
- 回答日時:
2u/(u²+1)=(u²+1)'/(u²+1)であることに気が付ければ
{ln(u²+1)}'={1/(u²+1)}・(u²+1)'=(u²+1)'/(u²+1)ですから
∫2u/(u²+1)du=∫(u²+1)'/(u²+1)du=∫{ln(u²+1)}'du=ln(u²+1)です(積分定数省略)
これは置換積分をショートカットしたような方法でして、置換積分を省略なしに行うなら
t=u²+1と置くと
dt=2udu
∫2u/(u²+1)du=∫dt/t=log|t|=log(u²+1)です
なおこの問題では(積分定数省略)
ln(u²+1)=ln1/|x|+ln(e^c*)=ln(e^c*)/|x|
ですからC=e^c*のようです。
No.3
- 回答日時:
ANo.1/2です。
すみません一部訂正です。
誤: ln|g|=(1/g)×g'=g'/g
正: (ln|g|)'=(1/g)×g'=g'/g
No.2
- 回答日時:
ANo.1です。
もうひとつ追加。
自然対数の真数が関数の場合の微分は、関数をgとすると、
ln|g|=(1/g)×g'=g'/g
g=u^2 +1 とすると、g'=2uとなります。よって、
∫(2u/(u^2 + 1)) du=-∫(1/x) dx
ln|(u^2 + 1)|=-ln|x|+c*
ここで、u^2 +1>0より、左辺の自然対数の絶対値は不要になります。よって、
ln(u^2 + 1)=-ln|x|+c*
No.1
- 回答日時:
>・2u/u^2+1の積分がln(u^2+1)になること(2uは何処へ)
まず、u'はu'=du/dxになります。
2uは元の式の分母に最初から存在し、式変形で分子に移動しています。
u'x=-(u^2 + 1)/2u
x(du/dx)=-(u^2 + 1)/2u
(2u/(u^2 + 1))(du/dx)=-(1/x)
(2u/(u^2 + 1)) du=-(1/x) dx
>・c*とは?(積分定数とちがいのか)
c*もcも積分定数です。
説明の都合上、c*と表現しているだけです。
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