・2u/u^2+1の積分がln(u^2+1)になること(2uは何処へ） ・c*とは？（積分定数とちが

・2u/u^2+1の積分がln(u^2+1)になること(2uは何処へ）
・c*とは？（積分定数とちがいのか）
解説おねがいします

No.4 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/02/24 12:50

2u/(u²+1)=(u²+1)'/(u²+1)であることに気が付ければ

{ln(u²+1)}'={1/(u²+1)}・(u²+1)'=(u²+1)'/(u²+1)ですから
∫2u/(u²+1)du=∫(u²+1)'/(u²+1)du=∫{ln(u²+1)}'du=ln(u²+1)です（積分定数省略）
これは置換積分をショートカットしたような方法でして、置換積分を省略なしに行うなら
t=u²+1と置くと
dt=2udu
∫2u/(u²+1)du=∫dt/t=log|t|=log(u²+1)です

なおこの問題では（積分定数省略）
ln(u²+1)＝ln1/|x|+ln(e^c*)=ln(e^c*)/|x|
ですからC=e^c*のようです。

No.3 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/02/24 08:43

ANo.1/2です。

すみません一部訂正です。

誤： ln|g|=(1/g)×g'=g'/g
正： (ln|g|)'=(1/g)×g'=g'/g

この回答へのお礼

ありがとうございます
わかりやすいです！

お礼日時：2019/02/24 16:30

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/02/24 08:40

ANo.1です。

もうひとつ追加。
自然対数の真数が関数の場合の微分は、関数をgとすると、

ln|g|=(1/g)×g'=g'/g

g=u^2 +1 とすると、g'=2uとなります。よって、

∫(2u/(u^2 + 1)) du=-∫(1/x) dx
ln|(u^2 + 1)|=-ln|x|+c*

ここで、u^2 +1>0より、左辺の自然対数の絶対値は不要になります。よって、

ln(u^2 + 1)=-ln|x|+c*

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/02/24 08:29

>・2u/u^2+1の積分がln(u^2+1)になること(2uは何処へ）

まず、u'はu'=du/dxになります。
2uは元の式の分母に最初から存在し、式変形で分子に移動しています。

u'x=-(u^2 + 1)/2u
x(du/dx)=-(u^2 + 1)/2u
(2u/(u^2 + 1))(du/dx)=-(1/x)
(2u/(u^2 + 1)) du=-(1/x) dx

>・c*とは？（積分定数とちがいのか）

c*もcも積分定数です。
説明の都合上、c*と表現しているだけです。