確率について。

次の35,36がわかりません。教えていただけると幸いです。

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/06 18:27

36.

ちょうど n 回目のゲームで A が 4 勝先取するというのは、
n-1 回目までに A が 3 勝、B が k 勝(k=0,1,2,3)していて
しかも n 回目のゲームで A が勝つということです。
(n - 1 = 3 + k です。)

n-1 回目までで A が 3勝している確率は、二項確率
((n-1)Ｃ3){(1/3)^3}{(2/3)^k} ですから、
ちょうど n 回目のゲームで A が優勝する確率は、
p(n) = ((n-1)Ｃ3){(1/3)^3}{(2/3)^(n-4)}・(1/3)
= (1/96)(n-1)(n-2)(n-3)(2/3)^n　です。

(1)　p(6) = 40/729.

(2)　Σ[k=0..3]p(4+k) = 1/81 + 8/243 + 40/729 + 160/2187
= 379/2187.

(3)　B が n 回目に優勝する確率 q(n) は、同様に
q(n) = ((n-1)Ｃ3){(2/3)^4}{(1/3)^(n-4)}　です。
よって、求める期待値 E は、
E = Σ[k=4..7]n・p(n) + Σ[k=4..7]n・q(n)
= 4*1/81 + 5*8/243 + 6*40/729 + 7*160/2187
　+ 4*16/81 + 5*64/243 + 6*160/729 + 7*320/2187
= 4012/729 ≒ 5.503　となります。

この回答へのお礼

すみません。p(n)の式について、もう少し詳しく教えていただきたいのです。教えていただけると幸いです。

お礼日時：2019/03/10 16:02

No.10 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2019/03/11 00:32

> これが解らないなら、私はもう降りる。

　もちろん質問者はわかっていない。ここや知恵袋、いくつかの数学掲示板、Excel の掲示板で幾多の珍問答を見てきたので断言できるのだwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww。

　たとえば36の(1)に対する解説は
-----------------------------
(1)6回目でAが優勝する。
　5 回までの A の勝敗パターン（○が勝）は
　　①②③④⑤
　　○○○●●
であるから、その場合の数は 5C2 = 10[通り]。
　4 勝 2 敗のパターンで、勝つ確率は 1/3、負ける確率は 2/3 なのだから、求める確率は
　　10*(1/3)^4*(2/3)^2 = 40/729.
-----------------------------
のようにくどくやらなければならないwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

No.9 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/10 17:45

←No.4補足

前回回答を削除した後で
自分の考察も書かずに丸々再質問した上に、
説明のどこが不明だったのかも書かず
「もう少し詳しく」か...
現実でも、そういう生活態度の人なのかなあ...

＞ちょうど n 回目のゲームで A が 4 勝先取するというのは、
＞n-1 回目までに A が 3 勝、B が k 勝(k=0,1,2,3)していて
＞しかも n 回目のゲームで A が勝つということです。
＞(n - 1 = 3 + k です。)
の部分はok？
これが解らないなら、私はもう降りる。

1 回の試行について確率 p で起こる事象を
独立に m 回反復したとき、r 回起こる確率は
(mCr)(p^r)(1-p)^(n-r).　　…[*1]
この確率分布を「二項分布」と呼び、
r は二項分布 B(m,p) に従うという。

式に出てくる mCr は、
m 個の中から r 個を選ぶ組み合わせの個数で
「二項係数」と呼ばれる。算数でお馴染みのやつ。

なぜ[*1]の式になるかと言うと...
m 回の試行のうち何回目に起こるのかの選び方が mCr 通り。

各選び方について、そのパターンの勝敗が起こる確率は
(p^r)(1-p)^(n-r).　　…[*2]
起こる(確率 p)のが r 回、
起こらない(確率 1-p)のが n-r 回だから、これを掛ける。

なぜ掛けるかというと、最初に、試行を独立に反復すると
仮定したから。1 回目の確率と 2 回目の確率の積が
1,2 回目に起こることの確率になるような事象間の関係を
「独立」と呼ぶ。

r 回が m 回のうちいつ起こるかのパターンが違えば
事象は背反(同時には起こらない)だから、
そのうちのどれかが起こる確率は各[*2]の和になる。
[*2]が mCr 個あるのだから、合計は[*1]。

今回の例題では、
問題文に「1 回ごとのゲームで A が勝つ確率が 1/3」と
書いてあるから、前後のゲームの勝敗に関わらず
A が勝つ確率は毎回 1/3 と見て良いだろう。このとき、
各回のゲームで A が勝つ確率は独立となる。
n-1 回のゲームで A が勝つ回数は二項分布 B(n-1,1/3)
に従うことになり、3 回勝つ確率は[*1]から
((n-1)C3){(1/3)^3}(1 - 1/3)^(n-1-3).　 …[*3]

ちょうど n 回目のゲームで A が優勝する確率は、
[*3]が起こって更に n 回目で A が勝つ確率だから、
p(n) = ((n-1)C3){(1/3)^3}{(2/3)^(n-4)} ・ (1/3).

No.8 回答者： sc348253 回答日時： 2019/03/07 09:50

あれ！ミスばっか！また、やらかしたみたい！コルムさんにもすみません！！

No.7 回答者： sc348253 回答日時： 2019/03/07 09:48

No6 すみません！1/3と2/3の間違い！私もミス多くご迷惑をおかけしますね！

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/06 20:46

←N0.5

p(n)の話？ q(n)話？
36.(1)の話をしているんであれば、
No.4 の式で
p(6) = (5Ｃ3){(1/3)^4}{(2/3)^2} ですよ？

No.5 回答者： takoハ 回答日時： 2019/03/06 20:00

q(n) = ((n-1)Ｃ3){(2/3)^4}{(1/3)^(n-4)} は、

最後が、Aときまっていますから、n-1回の試行で (4-1)回Aが当たる場合で、n-1C3
最終的にAが4回なので、(1/3)^4
残りの試行回数は、n-4回で、(2/3)^n-4 となりますから、

n=6 では、5C3(1/3)^4・(2/3)^2 となります！

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/06 18:26

35.

4枚の硬貨を同時に投げるとき、2枚が表になる確率は、
二項確率 q = (4Ｃ2){(1/2)^2}{(1/2)^2} = 3/8.
それを独立に4回行って、X回起こる確率分布は、
二項分布 B(4,3/8) です。その確率関数は、
p(x) = (4Ｃx)(q^x)(1-q)^(4-x) = {(5/8)^4}(4Ｃx)(3/5)^x.
この式が、X の確率分布を表します。表にすると、
x　　　　0　　　　1　　　　　2　　　　3　　　　4
p(x)　625/4096　375/1024　675/2048　135/1024　81/4096

二項分布 B(4,3/8) ですから、
平均は 4×3/8 = 3/2,
標準偏差は √(4×3/8×5/8) = (√15)/4 ≒ 0.9282 です。
一般の二項分布 B(n,p) の平均 np と分散 np(1-p) は、
前回導出して見せましたよね。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/06 18:26

ええ、私も、前回回答をリンクしようと思って

自分の回答履歴を探したのですが、見つかりませんでした。
削除されたのは、回答ではなく質問のほうですよね？
質疑応答を含め、けっこう手間を掛けて回答していたので、
不愉快な話ですね。削除依頼を出したのは、前回 36 に誤答を
投稿していた人なのかな？　さて、振り出しに戻りましょうか。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/06 15:55

あれ？

先日、同じ問題を同じ写真で質問してませんでした？
回答した覚えがあるんだけれど。

この回答へのお礼

回答を削除されたのです。すみません。もう一度教えていただけると幸いです。

お礼日時：2019/03/06 16:12