放物線と接線

Question

放物線ｙ2＝４x（ｙの2乗）の直交する二接線の交点の軌跡を求める問題です。
この放物線は分かるんですけど、直交する二接線の交点が良く分かりません。
この軌跡はどうなるのでしょうか。
以前この問題の解答が出ていましたが読んでもよく分かりませんでした。
また、微分・積分を使わない方法はありますか。中学生程度の知識で解けますか。
よろしくお願いします。

naganotti · Accepted Answer

ごめんなさい。
式がちょっと違ってます。
もう一回入れなおします。

y^2=4xは、y=4pxにおいてp=1の形です。
（幾何学の教科書にはたいていこの形は載っています）
y^2=4xの任意の接線の方程式を
y=mx+1/m・・・(1)　
とすると、
これに直交する接線の方程式は
y=-1/m*x-m・・・(2)
です。
この(1)、(2)の交点Pの座標(x,y)は(1)と(2)を連立方程式として解くと求まります。
さあ、やってみましょう！

結論から言えば、x=-1なんですけどね。

turkey-yekrut · Answer

微分積分を使った方法は自信がないので、
使わない方法を考えてみましたが…

放物線は、x＝(1/4)y^2
接線は直線なので1次式で表され、一方をx＝ay＋b…(1)とする。
もう一方は(1)と直交するため、傾きの積が－1であることから、x＝－(1/a)y＋c…(2)とする。

放物線と接線(1)は接するので、
(1/4)y^2－ay－b＝0の判別式Ｄ＝a^2＋b＝0より、b＝－a^2
放物線と接線(2)も接するので、同様に
(1/4)y^2＋(1/a)y－c＝0の判別式Ｄ＝(1/a^2)＋c＝0より、c＝－(1/a^2)

接線(1)と(2)の交点を求める。
ay＋b＝－(1/a)y＋c
{a＋(1/a)}y＝a^2－(1/a^2)
{a＋(1/a)}y＝{a＋(1/a)}{a－(1/a)}
y＝a－(1/a)
これを(1)に代入して、
x＝a{a－(1/a)}－a^2
x＝a^2－1－a^2
x＝－1

…えええっ軌跡がx＝－1だってか！？とビビって断念…
たぶん間違ってますよね(汗)

pyon1956 · Answer

ANo.1の答えで大体あっているとおもいます。
x=-1はこの放物線の準線と呼ばれるものです。（高校数学・数学C）
その定義は「接戦の交点の軌跡」ではなく、定点Ｆとこの準線からの距離が等しい点の軌跡は放物線となる、というものですが、この問題の解としても適切です。turkey-yekrutさんを安心させる意味で、ANo.1の逆を考えてみましょう。
逆があっていればこの種の軌跡の場合問題ないと思われますが。
(-1,p)を通る接線が直交することをいえばいいわけで、
x+1=a(y-p)とy2=4xが接する条件を判別式でしらべれば、
a2-ap-1=0となり、解と係数の関係からこのaの２次方程式の2つの解の積は-1になり、接線が直交することがいえます。まあ、解の公式で解いてその二つの解の積を求めれば-1になるのは確認できると思いますが。
なおANo.1でy=定数、というものは決して接線にならないことから、aおよび-(1/a)が0にならないことを、厳密には付け加えておく必要があります。
ただし。
判別式、解と係数の関係ともに高校数学（数学I、数学IIあたり。現在の高３と高2では違う分類、新課程になっているので正確ではないがいずれにしても）ですが。

naganotti · Answer

y^2=4xは、y=4pxにおいてp=1の形です。
（幾何学の教科書にはたいていこの形は載っています）
y~2=4xの任意の接線の方程式を
y=mx+1/m・・・(1)　
とすると、
これに直交する接線の方程式は
y=-1/m-m・・・(2)
です。
この(1)、(2)の交点Pの座標(x,y)は(1)と(2)を連立方程式として解くと求まります。
さあ、やってみましょう！

結論から言えば、x=-1なんですけどね。

放物線と接線

微分積分を使った方法は自信がないので、

ANo.1の答えで大体あっているとおもいます。

y^2=4xは、y=4pxにおいてp=1の形です。

ごめんなさい。

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