数3の微分の問題です

y=log｜y｜(絶対値)の導関数を利用して、次の関数を微分せよ。

①y=x^2・3乗根√(x+1)

②y=(x+2)(x+3)^3/x^2+1

この2問の解き方を教えてください。
①の問題の√は、(x+1)までかかっています。
お願いします。

No.5 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/03/19 07:04

１、問題の書き間違いについて

y=log｜y｜と書くと、式の左辺にもyを書いたので、これはyの方程式になり、解の無い不能の方程式であるから、この式を書いてはダメです。y=log｜x｜とするか、または単にlog｜y｜とするか。要するに対数微分をせよという事でしょう。
対数微分とすると、②の問題はy=(x+2)(x+3)³/(x²+1)の間違いではないかという疑問が生じるので、②のままの場合と、③y=(x+2)(x+3)³/(x²+1)の場合と両方の答えを書いておく。
絶対値記号を書くと繁雑になるので、logは定義域でだけ用いるという了解のもとに絶対値記号を省略して書く。
２、①の解法
y=x²・³√(x+1)の両辺の対数をとると
log y=log{x²・³√(x+1)}=2log x+(1/3)log(x+1)
微分すると
y ’/y=2/x+(1/3)/(x+1)=6(x+1)/3x(x+1)+x/3x(x+1)
=(7x+6)/3x(x+1)
y ’=(7x+6)/3x(x+1)・ｙ=(7x+6)/3x(x+1)・x²・³√(x+1)
=x(7x+6)/{3(x+1)・³√(x+1)²}
２、②の解法
y=(x+2)(x+3)³/x²+1
これを微分すると、右辺の+1の項は消えるので、この項は最初からないものとして計算する。
y=(x+2)(x+3)³/x²
両辺の対数をとると
log y=log(x+2)+3log(x+3)－2log x
微分すると
y ’/y=1/(x+2)+3/(x+3)－2/x
　={x(x+3)+3x(x+2)－2(x+2)(x+3)}/x(x+2)(x+3)
　=(2x²－x－12)/x(x+2)(x+3)
y ’=(2x²－x－12)/x(x+2)(x+3)・y
　=(2x²－x－12)/x(x+2)(x+3)・(x+2)(x+3)³/x²
　=(2x²－x－12)(x+3)²/x³
３、②が間違いで、③y=(x+2)(x+3)³/(x²+1)の場合は、
両辺の対数をとると
log y=log(x+2)+3log(x+3)－log(x²+1)
微分すると
y ’/y=1/(x+2)+3/(x+3)－2x/(x²+1)
　={(x+3)(x²+1)+3(x+2)(x²+1)－2x(x+2)(x+3)}/{(x+2)(x+3)(x²+1)}
　=(2x³－x²－8ｘ＋9)/{(x+2)(x+3)(x²+1)}
y ’=(2x³－x²－8ｘ＋9)/{(x+2)(x+3)(x²+1)}・y
　=(2x³－x²－8ｘ＋9)/{(x+2)(x+3)(x²+1)}・(x+2)(x+3)³/(x²+1)
　=(2x³－x²－8ｘ＋9)・(x+3)²/(x²+1)²
　=(2x³－x²－8ｘ＋9)(x+3)²/(x²+1)²

No.4 回答者： takoハ 回答日時： 2019/03/18 16:17

対数微分法ですか？

まず、√(x+1)から、定義域は、x＞ー1 です。その上で、両辺を対数をとれば
log y=2log I x I +(1/3)log I x+1 I
∴ (1/y)・dy/dx=2/x +(1/3)/ (x+1)
∴ dy/dx=｛ 2/ x +(1/3)/ (x+1) ｝・｛ x^2・(x+1)^1/3 ｝
= 2x(x+1)^1/3 +x^2/｛3(x+1)^1/3｝

丸2は、どこにかかっているのかわからない？

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2019/03/15 10:40

どっちの問題にも log が出てこない。

だから、log は自分で "くっつけ" なさい、ということです。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/14 04:38

「log｜y｜の導関数を利用」って言いたかったんだろうけどねえ。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/03/14 01:45

「y=log｜y｜(絶対値)の導関数を利用」するんじゃないかなぁ.... 「y=log｜y｜(絶対値)」がなんのことかわからんけど

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