高校数学の質問です。 点(3,-2)に関して、円x²+y²=7と対称な円の方程式は (x-□)²+(

高校数学の質問です。

点(3,-2)に関して、円x²+y²=7と対称な円の方程式は
(x-□)²+(y+■)²=○である。

という問題なのですが、写真の解説の、

「CはBに関して、円x²+y²=7の中心O(0,0)と対称な点である。」

という所が、なぜそう言えるのか理解できません(T_T)
解説していただけると助かります。
変な質問をしていたらすみません。
よろしくお願いします。

No.4 回答者： takoハ 回答日時： 2019/04/02 11:46

対称とは、二つの図形が、点・線・面などについて互いに向き合う位置関係にあること。

それぞれ点対称・線対称・面対称とよぶ。シンメトリー。
直線OBの法線上の点B(3,-2)に関して対称な円の式を求めるのだが、
円は、中心と半径で決まるので、
直線OBの法線上の点B(3,-2)に関してx^2+y^2=7の中心(0,0)と対称な点をC(x,y)とすれば
線分OCの中点がBであるからである。(別の見方は、OをBを中心として180度回転したのが、Cである。)

座標軸を変換して考えれば、（０,0)を原点としたxy座標から、(3,-2)を原点としたXY座標で考えれば、
X=xー3
Y=y+2
となる( (x,y)=(0,0)を代入すれば、(0,0)→(-3,2)となるから！)
この点に対称な点は、教科書にもあるように、Y=Xに対して対称な点で、
X座標、Y座標とも、マイナスを掛けた値だから、
(-3,2)→(3,-2)が対称点だから、
(X,Y)=(3,-2)より上記の式より
(x,y)=(X+3,Y-2)=(3+3,-2-2)=(6,-4)から、円の式は、(xー6)^2+(y+4)=7となる。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/04/01 01:39

立体の点対称まで含めて考えると、180°回転よりも

反転で定義したほうがいいような気はするね。
点対称が180°回転で不変と同じになるのは2次元特有の事情だから。
ベクトル抜きで反転を簡明に定義するのはややめんどうで、
小中学生向けには180°回転で説明している本とかが多いけど。

で、スカラー -1 倍ではなく図形的に反転を定義しようと思ったら、
対応する点の中点が対称点となる...ということになる。
このセンで説明すると、この質問への答えは「それが点対称だから」。
なんか、あまり説明した風でもないけれども。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2019/03/31 20:18

「原点の 点B に対しての 対称点が 求める円の中心になる」と云う事なんですが。

「点対称 の図形」とは「180° 回転させたときに 元の図形と一致する図形」の事です。
つまり、線分BO と長さが一緒で 向きが反対になった線分が BC と云う事です。
ですから、画像にあるように　線分OC の中点が 点対称の 点B になります。

No.1 回答者： springside 回答日時： 2019/03/31 18:59

「CはBに関して、円x²+y²=7の中心O(0,0)と対称な点である。

」ということは、
「線分OCの中点はBに等しい（一致する）」ということでしょ。（図に描いてあるとおり）

で、線分OCの中点((x+0)/2,(y+0)/2)が、点Bの座標(3,-2)と一致するから、
その下の式（x座標、y座標がそれぞれ等しい）が出できている訳だが。

としか言いようがないなぁ。