微分方程式 xdy-(y+2(x^2+y^2))dx=0 の解き方を教えてください、よろしくお願いし

微分方程式
xdy-(y+2(x^2+y^2))dx=0
の解き方を教えてください、よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/04/25 22:58

与式は xdy - ydx = 2(x^2+y^2)dx と変形できるが、

この左辺を見れば、普通 d(y/x) = (xdy - ydx)/x^2 を連想する。
y/x = u と置くと du = (xdy - ydx)/x^2 = 2(x^2+y^2)dx/x^2 = 2(1 + u^2)dx.
2dx = du/(1+u^2) = d(tan^1- u) と変数分離できるので、
2x+C = tan^-1 u (Cは定数).
すなわち y = xu = x tan(2x+C).

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2019/04/26 14:33

No.2 回答者： gamma1311 回答日時： 2019/04/25 07:54

結果にタイプミスがありました。

以下のように訂正します。
解は、2x - arctan(y/x)=K.
または、y=x*tan(2x+C).

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2019/04/26 14:33

No.1 回答者： gamma1311 回答日時： 2019/04/25 07:41

極座標へ変換すると与式は、

dr/dθ - r*tanθ=1/(2*cosθ).
となります。(１階線形).
これから、
r(θ)=(1/2)*θ/cosθ + C/cosθ.
を得てもとにもどすと、
x - arctan(y/x)=K.
となります。
ーーーーー
y=x*tan(x+C). ともなります。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2019/04/26 14:33