No.1ベストアンサー
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1.
A=0 のとき
y=B+x・・・・・・①
が解。
2.
以下では、
A≠0 とする。
Y=y-B
とおく。すると与式は
AY'=(Y-x)/x=Y/x-1
となる。つぎに
u=Y/x
とおくと
Y'=u+u'x
だから
A(u+u'x)=u-1 → Au'x=(1-A)u-1・・・・・・②
ここで、A=1 とすると
u'x=-1 → u'=-1/x → u=-log|x|+C
→ Y=-x(log|x|+C) → y=B-x(log|x|+C)・・・・・③
3.
以下では A≠0,1 とする。②から
→ u'x=(1/A-1)u-1/A=(1/A-1){u-1/(1-A)}
→ [1/{u-1/(1-A)}]u'=(1/A-1)/x
変数分離だから積分して
→ log|u-1/(1-A)|=(1/A-1)log|x|+C=log|x|^(1/A-1)+C
→ {u-1/(1-A)}/|x|^(1/A-1)=C
→ u-1/(1-A)=C|x|^(1/A-1)
上式で、C=0 とした、u=1/(1-A) も①に入れると解とわかる。これと
±e^Cをまとめて、改めてCとした。すると
→ Y/x=1/(1-A)+C|x|^(1/A-1)
→ y=B+x/(1-A)+Cx|x|^(1/A-1)・・・・・④
4.
以上をまとめると①③④から
y=B+x (A=0 のとき)
y=B-x(log|x|+C) (A=1 のとき)
y=B+x/(1-A)+Cx|x|^((1/A)-1) (A≠0,1 のとき)
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