log2(3)は代数的無理数？

超越数の定義について、高校時代は「どんな方程式の解にもならない実数のこと」と教わりました。
なるほど、ルート２はx^2=1の解だし、log2(3)は2^x=3の解だから「超越数ではない無理数、つまり代数的無理数」なのか・・・とそのときは納得したのですが、大学の数学の本を見ると、超越数の定義が高校時代に教わったのとは異なることに気づきました。
大学参考書には、超越数とは「どんな有理係数n次方程式の解にもなりえない実数」と書かれているのです。
有理係数n次方程式ということは、二次方程式とか三次方程式じゃないとダメですよね。2^x=3は有理係数n次方程式ではありません。

log2(3)は代数的無理数のはずですよね？
だったら、log2(3)はどんなn次方程式の解になっているのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2004/12/03 17:12

log2(3) は超越数です.

log2(3) が代数的無理数とするとゲルフォント-シュナイダーの定理から 3 = 2^(log2(3)) が超越数になる....

というか, 「どんな方程式の解にもならない」ってのはそれ自身で変. 実数 a は必ず方程式 x = a の解だから.

この回答へのお礼

log2(3)は超越数だったのですか！
ゲルフォント-シュナイダーの定理について調べてみました。確かに・・・。超越数のようですね。
「どんな方程式の解にもならない」というのは表現が悪かったですね。πもx=πの解になってしまいますし。高校時代、超越数は「どんな初等関数と有理係数・有理数項のみで構成された方程式の解にもならない」という定義だと誤解していました。その誤解をひきずってか、log有理数(有理数)で表されるものは全て代数的無理数だと思っていました。
数論の本をもっと勉強しようと思います。ありがとうございました。

お礼日時：2004/12/03 23:05

No.1 回答者： BBblue 回答日時： 2004/12/03 17:03

log2(3) は代数的無理数ではないと思いますが・・

いまいち自信なし。