(2)と(3)の問題の解き方がわかりません！数学が得意な方よろしくお願いします！

(2)と(3)の問題の解き方がわかりません！数学が得意な方よろしくお願いします！

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/05/30 04:16

(2)はちょっと面白いかも。

a[n] > 0 であることが数学的帰納法で示せる。
漸化式両辺の log をとって log a[n+1] = log2 + (1/2)log a[n].

よく見かける一次不斉次の線型漸化式になるので、
ここから先は型どおりに処理する。
ｃ = log2 + (1/2)ｃ を解いて、c = 2log2.
両式を辺々引き算して log a[n+1] - c = (1/2)(log a[n] - c) より
log a[n] - c = (log a[1] - c)・(1/2)^(n-1).

lim log a[n] - c = lim (log a[1] - c)・(1/2)^(n-1) = 0 だから
lim a[n] = e^c = 4.

(3)は捻りのない斉次線型漸化式で、全く型どおり。
x^2 = (3/2)x - (1/2) を解くと、x = 1/2, 1. これを使って
a[n] = B(1/2)^(n-1) + C1^(n-1)　(B,Cは定数) と置くと、
この a[n] は問題の漸化式を満たす。
初期条件も満たすように
1 = B + C,
2 = B(1/2) + C となる B,C を求めると、B = -2, C = 3.

lim a[n] = lim -2(1/2)^(n-1) + 3 = 3.