出産前後の痔にはご注意!

Res[e^st/(s-a)^n]を導出してください。答えは知っていますが、どのようにして導かれるかが気になりました。

A 回答 (2件)

ローラン展開における -1 次項の係数を、留数(Res)と言います。


e^st/(s-a)^n の s=a での留数を求めるには、
e^st/(s-a)^n を s=a 中心にローラン展開すればいいのですが、
それには、e^st を s=a 中心にテイラー展開すればいい。
s=a+h と置いて、e^st を h についてマクローリン展開するのと同じことです。
指数関数のマクローリン展開 e^z = Σ[k=0→∞](z^k)/k! は知っていますね?
これを使って、e^st = e^(a+h)t = (e^at)e^(th) = (e^at)Σ[k=0→∞]{(th)^k}/k!
= Σ[k=0→∞]{(e^at)(t^k)/k!}(s-a)^k です。
(s-a)^n で割れば、e^st/(s-a)^n = Σ[k=0→∞]{(e^at)(t^k)/k!}(s-a)^(k-n) で
k-n = -1 となるのは k = n-1 の項。その係数は、(e^at)(t^(n-1))/(n-1)! です。
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e^(st)=e^(at)*e^{(s-a)t}


と変形してs=aの周りでe^{(s-a)t}をテーラー展開する。
そうして得られた式の(s-a)^(n-1)の項の係数が求める留数になります。
(要するに与えられた式のローラン展開をして-1乗の係数=留数)
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