類似テストの点数予想の計算

Question

問題

テストAは、百点満点で平均点が50点だったが、B君の得点はは75点だった。

同種のテストCは、テストAと同じような受験者たちで、平均点が60点だった。

B君が、テストCを受ければ、何点取れると予想できるか。

解答

テストCの平均点と満点との差：40点

テストAの平均点と満点との差：50点

60点＋25点（テストAの平均点とB君の得点の差）×40／50＝80点

よって、80点取れると予想される。

これであっていますか？

yhr2 · Accepted Answer

「平均点の周りに、どのように分布するか」が分からなければ何とも言えません。
もし「正規分布する」のなら、「標準偏差」が分からなければ何ともいえません。

あなたの解答は、そういった「分布」について何も言及していないので、正しいとも間違っているとも、何とも言えません。

「統計」とは、既に存在するデータを整理して、現実がどうなっているの記述する「記述統計」と、それに基づいて未知の状態を予測・推定する「推測統計」から成り立ちます。統計が役に立つのは「推測統計」があるからですが、そのためには「記述統計」ができていることが条件です。
無から有は生じないのです。
「記述統計」ができていないのに「推測」しようとするのは、単なる「あてずっぽう」にすぎません。「当たるも八卦（はっけ）、当たらぬも八卦」です。

もし、きちんと「統計的に」予想するのであれば、現状がどうなっているのかということから「推測」しないといけません。
「現状がどうなっているのか」は、「分布の形」と「その特性」、「分布の形」が「正規分布」であれば「平均値」と「標準偏差」で分かります。「平均値」だけでは不足です。

得点の分布が「正規分布」と仮定すると、
テストＡが「平均50、標準偏差10」なら、75点のＢ君は「1000人中6番目」（これ、いわゆる「偏差値」に相当します）
テストＡが「平均50、標準偏差20」なら、75点のＢ君は「1000人中106番目」
テストＡが「平均50、標準偏差30」なら、75点のＢ君は「1000人中203番目」
です。
（テストによって「平均」も「標準偏差」もいろいろと変わって相互に比較できないので、直接比較できるように「平均50、標準偏差10」に「正規化」したものがいわゆる「偏差値」です）

テストＡが「平均50、標準偏差30」で、テストＣが「平均60、標準偏差10」なら、テストＡで「75点」（平均点 + 0.83σ）だったＢ君は、テストＣでは
　60 + 0.83σ = 60 + 0.83 * 10 ≒ 68 点
と予想されます。
いずれも、その「分布」で「1000人中、上から 203 番目」の点数です。

テストＡが「平均50、標準偏差10」で、テストＣが「平均60、標準偏差10」なら、テストＡで「75点」（平均点 + 2.5σ）だったＢ君は、テストＣでは
　60 + 2.5σ = 60 + 2.5 * 10 = 85 点
と予想されます。

kairou · Answer

色々な考え方があるように思いますが、
 もし テストD が行われ 平均点が 80点 だったとすると、
あなたの考えでは B君の得点は 100点以上になりますね。

同じ 80点 と云う答えでも、次の方が良いのでは。
B君の テストAの得点 75点は (100+50)÷2で、平均点と満点との平均点ですから、
テストC の予想点数は (100+60)÷2=80 で、80点。

cage64 · Answer

B君がある模擬試験Aで合格圏内だったからといって、同様の受験者たちが受ける本番の試験Cで合格圏に入るかどうかはわかりません。
特定の一人が特定のテストで何点取れそうか、と、特定の一人の集団の中での実力（ちゃんと定義できてそのテストで測れるとして）がどのくらいか（何度もテストを繰り返すと平均して何点くらいとれそうか）、はまったく別の話です。

実力が定義できない（測れない）例としては、すべて勘でしか答えられないもの（例えば明日の天気とかこれからなげるコインの表裏など）があげられます。テストAは2択で1つだけが正解、テストCは5択で3つが正解という問題がたくさんあるなら、平均点は述べられたような結果になるでしょうが、テストAで75点とったB君がテストCで何点取れるかはまったくわからないでしょう。

他の方が述べているように、もっと詳しい状況がわからないかぎり（極端な話、B君のヤマが当たった、たまたま得意な問題が出た、体調が悪かったので本当はもっと点が取れたはず、とか）、なんともいえません。

類似テストの点数予想の計算

「平均点の周りに、どのように分布するか」が分からなければ何とも言えません。

色々な考え方があるように思いますが、

B君がある模擬試験Aで合格圏内だったからといって、同様の受験者たちが受ける本番の試験Cで合格圏に入るかどうかはわかりません。

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