A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
x²-x-1 = (x-a)(x-b) = 0
ただし a>b
(x-a)(x-b)=x²-(a+b)x+ab
より、係数比較して
a+b=1
ab=-1
(1)
二次方程式の解の公式より
x={1±√(1+4)}/2 =(1±√5)/2
a>b なので
a=(1+√5)/2
b=(1-√5)/2
1/a =2/(1+√5) =2(1-√5)/(1+√5)(1-√5)
=2(1-√5)/(1-5) =-(1-√5)/2 # 1/a=-b
(2)
a² -1/a² =(a -1/a)(a +1/a) =(a+b)(a-b) =a-b
=(1+√5)/2 -(1-√5)/2 =√5
1/a=-b より 1/b=-a であることに注意して、
1 -1/b² =1 -(1/b)² =1 -a² =-ab -a² =-a(b+a) =-a # 1 -1/b²=-a
=-(1+√5)/2
(3)
a⁴-1 =a⁴+(ab)²-(ab)²-1 =a⁴+a²b² -1-1 =a²(a²+b²) -2
=a²(a²+b²+2ab-2ab) -2 =a²(a²+2ab+b²) -2a³b -2
=a²(a+b)² -2a²(ab) -2 =a² -2a²・(-1) -2 =a²+ 2a² -2 =3a²-2
=3a²-3 +1 =3a²+3ab +1 =3a(a+b)+1 =3a+1 # a⁴-1=3a+1
=3(1+√5)/2 +1 =(3+3√5)/2 +2/2 =(5+3√5)/2
a⁴+b²-3/b² +2 =a⁴-1 +1 +b²+3(1 -1/b²) -3 +2 =a⁴-1 +b²+3(1 -1/b²)
=3a+1 +b² +3(-a) =b²+1
=b²+ab-ab+1 =b(a+b)+1+1 =b+2
=(1-√5)/2 +2 =(5-√5)/2
----------
式変形を繰り返し次数を減らすことにより、
2次以上の計算をしなくても回答が得られます。
ですが、複雑な式変形で悩むくらいなら、
そのまま計算してしまうほうが早いかもしれませんね。
No.1
- 回答日時:
(1)x=(1±√5)/2よりa=(1+√5)/2. 1/a=2/(1+√5)=2(1-√5)/(1+√5)(1-√5)=-(1-√5)/2
(2)a²-1/a²=(1+√5)²/4-(1-√5)²/4=√5,1-1/b²=(b²-1)/b²=-(1+√5)/2
(3)(2)よりa⁴-1=√5a²=√5(1+√5)²/4=(5+3√5)/2
a⁴+b²-3/b²+2= a⁴-1+b²+3(1-1/b²)=(5+3√5)/2+(3-√5)/2-3(1+√5)/2
=(5-√5)/2
です。
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