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定積分の不等式の証明問題について教えてほしいです。

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∫[0,n]1/(x+1)dx<1+1/2+・・・+1/n<1+∫[1,n](1/x) dx を証明せよ

という問題なのですが、この問題って真ん中はn個の長方形の面積の和で

y=1/(x+1)とy=1/xのグラフを書けば図から明らかになってしまいます。

しかし、グラフはイメージなので分かりやすい反面、限りがある範囲しか図示できておらず、正確性に欠ける気もします。


もっと良い証明方法はないでしょうか?分かる方おられましたら何卒ご教授いただければ幸いです。

A 回答 (2件)

グラフのイメージを、そのまま式で表すのがよいでしょう。


∫[0,n]1/(x+1)dx<1+1/2+・・・+1/n<1+∫[1,n](1/x) dx_①
の各辺は以下のように書き換えられます。
左辺=∫[0,n]1/(x+1)dx=Σ[k=0~n-1]∫[k,k+1]1/(x+1)dx_②
中辺=1+1/2+・・・+1/n=Σ[k=0~n-1]1/(k+1)_③
=1+Σ[k=1~n-1]1/(k+1)_④
右辺=1+∫[1,n](1/x)dx=1+Σ[k=1~n-1]∫[k,k+1]1/x)dx_⑤
式①の左辺と中辺の比較は、②と③を比較する。
Σ[k=0~n-1]の記号は②と③で共通だから、その中身を比較する。項数が等しくnであること、和をとる最初の項と最後の項、および積分の下限と上限をよく確認する。
②の中身=∫[k,k+1](1/x)dx=∫[k,k+1]f(x)dx f(x)=1/x x=k~k+1
③の中身=1/(k+1)=∫[k,k+1]g(x)dx g(x)=1/x x=k一定
この二つの積分の、積分される関数のf(x)とg(x)の関数形は1/xで同じだが
x=k~k+1の範囲を動くf(x)は、x=k一定のg(x)より小さいので
②<③が成立する。
式①の中辺と右辺の比較は、④と⑤を比較する。
初項1とΣ[k=1~n-1]の記号は④と⑤で共通だから、その中身を比較する。項数が等しくn-1であること、和をとる最初の項と最後の項、および積分の下限と上限を確認する。
④の中身=1/(k+1)=∫[k,k+1]f1(x)dx, f1(x)=1/x x=k+1一定
⑤の中身=∫[k,k+1]1/xdx=∫[k,k+1]g1(x)dx, g1(x)=1/x x=k~k+1
この二つの積分の、積分される関数のf1(x)とg1(x)の関数形は1/xで同じだが
x=k+1一定のf1(x)=1/(k+1)と、x=k~k+1の範囲を動くg1(x)を比較すると、
f1の分母k+1はg1の分母より大きいので、f1はg1より小さい。よって
④<⑤が成立する。
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この回答へのお礼

お礼をさせて頂きます。ご回答してくださった方ありがとうございました。感謝申し上げます。

お礼日時:2019/08/24 20:13

k<x<k+1 のとき 1/(k+1)<1/x<1/k より


1/(k+1) = ∫[k,k+1] 1/(k+1) dx < ∫[k,k+1] 1/x dx < ∫[k,k+1] 1/k dx = 1/k.
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