問題 3Sおよび3Px波動関数の動径分布関数を求め、動径分布関数の値が最大になる動径距離rを求めてください。

A 回答 (1件)

下の参考URLでは、水素原子について、Schroedinger方程式の解法について書かれていますが、具体的な回答はされていません。

ここには2冊の書籍の紹介をされています。2冊とも化学系の量子論です。物理屋の書いた量子力学より、水素原子に関しては詳しく書かれています。参考にされては如何でしょう?

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=110911

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=110911
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Q水素様動径波動関数

量子化学の二体問題を自分で勉強して発表しなくてはならないのですが量子力学を授業で取っていなかったのでわからず困っています。
{-[((h/2π)^2 / 2μ)(d^2/dr^2)] + Veff(r)}φ = Eφ
これを解析的に解くと
φ(r) = Rnl(r)
= Nnl(2Zr/na[0])^l × (exp(-Zr/na[0])) × L(2Zr/na[0])
と、水素様動径波動関数としてこの式が得られるらしいのですがここまでの計算過程がわかりません。
検索してみたのですが計算までは載っていなかったので教えてください。ちなみに上の式Lは正式には下のように表示されてました。
 2l+1

 n+1

Aベストアンサー

下のHPが丁寧で分りやすいのではないかと思います。
あとは大抵の量子力学のテキストで議論されていると思いますから、図書館へいって量子力学のテキストの水素原子の章を参考にすると良いと思います。頑張ってください。

参考URL:http://homepage2.nifty.com/eman/quantum/atom.html

Q水素原子の波動関数の動径部分

これは<量子力学演習>(しょうか房、小出昭一郎著)のP62の<3.22>に載っている問題です。
s状態(l=0)水素原子の波動関数をΨn=Rn(r)=Un(r)/rとし、Unに対するシュレーディンガー方程式を求めると、
{-(h^2/2m)d^2/dr^2-e^2/4πεr}Un=EnUnとなります。
ここで波動関数の有界性より、∫|Ψn|^2dv ∝ ∫|Un|^2dr = 有界とならねばなりません。そこまではわかるんですが、そのあとに
Enが飛び飛びの値をとるためにはなぜかr=0近傍でU(0)=0とならねばならないと書いてあるんですがこれは何処から出てきたんでしょうか?

Aベストアンサー

量子力学では、正規条件||ψ||=1を満たすことが要求されているのであって、波動関数の値が無限大なってはいけないということはありません。実際、相対論的量子力学ではr->0で波動関数が無限大の解がゆるされます。この問題はパウリによって議論されており、ハミルトニアンのエルミート性を使います。

動径関数の一般解は
  R(r)=a_1r^L{1+F1(r)}+a_2r^(-(L+1)){1+F2(r)}
とかけます。L>0の場合は波動関数の正規性からa_2=0が得られますが、L=0の場合はa_2がゼロでなくともr=0の近傍で積分は発散せず正規性からはa_2=0が結論されません。L=0の時は、ハミルトニアンHのエルミート性からa_2=0が出てきます。HがエルミートであればHの固有状態ψに対して、任意の状態φに対して
  (Hφ,ψ)=(φ,Hψ)
が成り立ちます。これから少し議論を要しますが結論として、r->0でψが満たすべき条件として
  lim r^2dψ/dr=0 ( r->0)
が得られます。これに一般解を代入するとa_2=0が導かれます。

小出氏の書をはじめ多くの量子力学の教科書では同じ議論(a_2がゼロでなければ、波動関数が原点で発散するのでa_2=0)がなされていますが、これは正しくないといえます。

この問題を正しく扱っている本として
 荒木源太郎著「量子力学」
がありますのでご覧になって下さい。

量子力学では、正規条件||ψ||=1を満たすことが要求されているのであって、波動関数の値が無限大なってはいけないということはありません。実際、相対論的量子力学ではr->0で波動関数が無限大の解がゆるされます。この問題はパウリによって議論されており、ハミルトニアンのエルミート性を使います。

動径関数の一般解は
  R(r)=a_1r^L{1+F1(r)}+a_2r^(-(L+1)){1+F2(r)}
とかけます。L>0の場合は波動関数の正規性からa_2=0が得られますが、L=0の場合はa_2がゼロでなくともr=0の近傍で積分は発散せず正規性か...続きを読む

Q動径関数

量子力学や物理化学はあまり詳しくないのですが、有機化学を勉強していて、動径関数

原子核からの距離にのみ依存する関数で、得られる解はその距離に電子が存在する確率である

と言うことを知り、プログラミングが得意なので、自分で電子雲を3次元的にに描画するプログラムを作ろうと思ったのですが、そこで疑問が生まれました

量子力学や物理化学に詳しくないのでとんちんかんなことを言っているかもしれませんが聞いてください

有機化学で習ったのでp軌道は、それぞれx,y,z軸に平行なアレイ型の軌道を持つことを知っています

しかし、動径関数が距離にのみ依存するのであれば、3次元的にそれを視覚化した場合、点対称になり、方位性を持たない球として描画されるはずです

どうしたら方位性を持つアレイ型の軌道になるのか教えて下さい 多分何か勘違いしてると思うのでどこがおかしいか教えて下さい

Aベストアンサー

それは動径成分だけの解なので、さらに角度成分の解として球面調和関数をかけないとだめですよ。

波動関数は

ψ(r,θ,Φ) = R(r) Y(θ,Φ)

で、質問文の「動径関数」というのはR(r)だけです。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%90%83%E9%9D%A2%E8%AA%BF%E5%92%8C%E9%96%A2%E6%95%B0
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B0%B4%E7%B4%A0%E5%8E%9F%E5%AD%90%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%82%AC%E3%83%BC%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F%E3%81%AE%E8%A7%A3

Q摂動論を用いた波動関数

電荷eを持つ一次元の粒子について
Ho=p^2/2μ+μ^2x^2/2のハミルトニアンを考えます。電場によるポテンシャルはH1=eV=eεzです。
これの基底状態のエネルギーと波動関数を摂動論を用いて一次まで求めるのですが、エネルギーはなんとか求めることができました。さて波動関数についてですが、参考書をみると係数の求め方は乗っているのですが、係数がかかる波動関数の求め方がわからず困っています。ぜひ教えてください> <よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>波動関数についてですが、参考書をみると係数の求め方は乗っているのですが、係数がかかる波動関数の求め方がわからず困っています。

摂動論で使う波動関数は無摂動ハミルトニアンの固有関数で展開(適当な係数を掛けて)していますから、参考書には無摂動系での固有関数(波動関数)がでているはずと思いますが。
尚、ご質問の問題はStark効果を扱った問題と思います。これは大抵の量子力学の演習書に載っていると思いますので、一度図書館で調べられればいかがでしょうか。

Q二体の波動関数から電荷密度を求めるには?

量子力学の波動関数から電荷密度を求めるには、一粒子であれば、
q・|φ(x)|^2
ですが、二体の波動関数の場合はφ(x_1,x_2)どうなのでしょうか?
考え出したらわけがわからなくなってしまい困っています。

ボソンとフェルミオンの場合で違うのか、単にスレータ行列式を
一方の粒子の座標だけで、
∫q・|φ(x_1,x_2)|^2 dx_2
のように積分するのか、
混乱してしまい、はまってしまっております。よろしく
お願いいたします。

具体的には、たとえば、調和ポテンシャルあるいは井戸型
ポテンシャルに相互作用の無い二つのフェルミオンあるいは
ボソンを投げ入れたときの問題です。

平面波展開で数表示にしてフーリエ変換するのが正しい
のでしょうか。

Aベストアンサー

2粒子の波動関数φ(x_1,x_2)がわかっているとして,
確率密度が |φ(x_1,x_2)|^2 です.
座標 x_1 の粒子のみに注目した存在確率は,x_2 の粒子がどこにいてもよいわけですから
(1)  ∫|φ(x_1,x_2)|^2 dx_2
でOKです.
粒子に注目しないのでしたら,x_2 の粒子がいる確率密度も加えないといけません.

相互作用のない2粒子系だというなら,
空間座標の直交規格化波動関数をψ1,ψ2 として(ψ1≠ψ2)
(2)  φ(x1,x2) = 1/√2 {ψ1(x1)ψ2(x2) ± ψ2(x1)ψ2(x1)}
がパウリ原理を満たす波動関数です.
ψ1(x1) は1番目の粒子が波動関数ψ1を持っていることを表しています.
ボソンに対しては,複号は+.
フェルミオンに対しては,
スピン関数が |↑↑>,|↓↓>,(1/√2)(|↑↓> + |↓↑>) のとき
(すなわち合成スピンが1のとき)は複号が-,
スピン関数が (1/√2)(|↑↓> - |↓↑>) のとき(合成スピンが0)は
複号が+です.

|φ|^2 を(2)から計算しますと,4つの項が出ます.
|ψ1(x1)|^2 |ψ2(x2)|^2 のタイプの項2つと
ψ1(x1) ψ2(x2) ψ2(x1)* ψ1(x2)* のタイプ(cross terms)の項2つです.
(1)の積分をやるときに,cross terms は直交規格化波動関数の性質から
ゼロになります.
したがって,残るのは第1のタイプの項だけで
(3)  ∫|φ(x_1,x_2)|^2 dx_2 = (1/2) {|ψ1(x1)|^2 + |ψ2(x1)|^2}
になります.
粒子2が今注目している場所にいる場合も考慮しないといけませんが,
計算は(3)を導くのと全く平行です.
結局,粒子密度は
(4)  {|ψ1(x)|^2 + |ψ2(x)|^2}
で,これが motsuan さんの結果です.

なお,ボソン2個,あるいは合成スピン0のフェルミオン2個が同じ状態ψ1なら,
(2)が
(2')  φ(x1,x2) = ψ1(x1)ψ1(x2)
となり,同様の計算で(4)で ψ2=ψ1 としたものになります.

直感的には,相互作用がない2粒子なのですから,
相手にお構いなくそれぞれの粒子が注目した場所にいる確率密度を考えればよいわけで,
(4)はちょうどそれになっています.

> ただ、非常に不思議なのは、お答えにスレータ行列式を代入すると、
> ボソンでもフェルミオンでも全く同じ空間分布となってしまいます。
> そういうものなのでしょうか?
そういうものです.
疑問は,相互作用のないボソン系でもボーズ凝縮が起きる,
あるいは理想フェルミ気体と理想ボーズ気体とでは圧力が異なる,
などの点との関連でしょうか?
これらはいずれも統計力学が関与した話で,
同じ状態(含スピン)に1個しか入れないか(フェルミオン),何個でも入れるか(ボソン),
が分配関数に影響するために出てきます.
分配関数の計算には,あらゆる状態に関する和があることに注意してください.
今の話は,状態2つを決めた話です.

なお,粒子間に相互作用があってそれを摂動で扱うなどの場合は
cross terms が効いてきて複号がどちらかが重要な意味を持ってきます.

2粒子の波動関数φ(x_1,x_2)がわかっているとして,
確率密度が |φ(x_1,x_2)|^2 です.
座標 x_1 の粒子のみに注目した存在確率は,x_2 の粒子がどこにいてもよいわけですから
(1)  ∫|φ(x_1,x_2)|^2 dx_2
でOKです.
粒子に注目しないのでしたら,x_2 の粒子がいる確率密度も加えないといけません.

相互作用のない2粒子系だというなら,
空間座標の直交規格化波動関数をψ1,ψ2 として(ψ1≠ψ2)
(2)  φ(x1,x2) = 1/√2 {ψ1(x1)ψ2(x2) ± ψ2(x1)ψ2(x1)}
がパウリ原理を満たす波動関数です.
ψ1(x1)...続きを読む


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