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FCCとBCCの最も密に詰まった面を教えてください。
いくつか無機の教科書を調べてみたのですが、基本的過ぎるのか見つからなかったです・・・。
図を見た感じでは、
FCC→{100}
BCC→{111}
かと思ったのですが、自信があまりないです。
できれば、考え方(計算方法?)も教えてほしいです。
よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

金属原子が詰まっているとします。


最も密な面の中では原子間の距離が最短になっています。くっついていると考えていいでしょう。
どの原子とどの原子が最短になっているかを考えてみて下さい。最も密な面が見つかります。
BCCの場合、コーナーにある原子と体心の原子がくっついています。体心の原子を通る対角線上では原子がくっついて並んでいます。この線を含む面のはずです。
FCCではコーナーの原子とそのコーナーに接する3つの面の面心の原子が接触しています。この4つの原子は正4面体を作っています。
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この回答へのお礼

なるほど、最近接から考えればいいんですか。納得できました。
ってことは
FCC→{111}
BCC→{110}
であってますでしょうか。一応、独立な2つのベクトル(最近接
の原子を結んだ方向ベクトル)を含む面を考えたつもりです。

お礼日時:2007/07/12 12:35

いいと思います。


立方体の一辺の長さをaとします。
BCCの場合
{100}の場合、面積a^2当たり原子1つです。
{110}の場合、面積(√2)a^2当たり原子2コです。

球を平面に敷き詰めた場合、正三角形を基本とした構造が出来ます。
平面で一番密度の高い並べ方です。この面の正三角形の中央に原子を載せるとという操作を続けると新しい面が出来ます。2枚の面は一番近い距離で接触しています。3枚目も同じようにして作ります。球をこの様にして積み重ねていくと一番密度の高い構造になります。最密格子といいます。3枚目を乗せる方法が2つあります。(1)ABAB・・・と(2)ABCABC・・・です。(1)が六方最密格子、(2)が面心立方格子です。面心にある3つの原子が作る面は元の正三角形を基本とした面になっています。

発泡スチロール球をたくさん手に入れることが出来るのであれば(廃物の発泡スチロールで作ってもいいです。)模型を作ってみるといいと思います。
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この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます。とても参考になりました。

お礼日時:2007/07/12 20:31

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d=a/√(h^2 + k^2 + l^2) ・・・(1)

となる。

質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
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点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
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bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
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これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

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 = 鉛の質量/スズの質量 ÷ (鉛の質量/スズの質量 + 鉛の原子量/スズの原子量)
 = wt%/(100 - wt%)
      ÷ {(wt%/(100 - wt%) + 鉛の原子量/スズの原子量}
 = wt% ÷ {(wt% + (100 - wt%)×鉛の原子量/スズの原子量}

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面心立方の原子位置は

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S = f Σ[i=1-4] { e^{-2πi G・ri} + e^{-2πi G・(d+ri)}
= f (1 + e^{-2πi G・d} ) (Σ[i=1-4] e^{-2πi G・ri})
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従って消滅則はFCCの消滅則に加えて前の()が0になる条件として

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