No.2
- 回答日時:
k>2a
となる自然数kがある
任意のε>0に対して
n_0>k+(2a)^k/k!/ε
となる自然数n_0がある
n>n_0となる任意の自然数nに対して
n>n_0>kだから
|a^n/n!|
=a^n/n!
=(a^k/k!)Π_{j=k+1~n}(a/j)
↓k<j<2a→a/j<1/2だから
<(a^k/k!)/2^(n-k)
=(2a)^k/k!/2^n
<(2a)^k/k!/n
<(2a)^k/k!/n_0
<(2a)^k/k!/{(2a)^k/k!/ε}
=ε
↓
|a^n/n!|<ε
∴
lim_{n→∞}a^n/n!=0
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
なんちゃって解法。
(a^n)/n! = Σ[k=0...n](a^k)/k! - Σ[k=0...n-1](a^k)/k! → e^a - e^a (when n→∞)
= 0.
Σ[k=0...n](a^k)/k! → e^a の e^a は明示する必要がなくて、
級数の収束だけ示せば (a^n)/n! → 0 が言える。
Σ[k=0...n](a^k)/k! の収束は、ダランベール判定法
lim[k→∞]{(a^(k+1)/(k+1)!}/{(a^k)/k!} = lim[k→∞]a/(k+1) = 0 < 1
から言える。
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