積分した値を教えてください

積分した値を教えてください

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/10/03 21:44

まず、式中に a, b が登場するのが面倒くさいから、x = a + (b-a)t と置いて

∫[a,b] √{ (x-a)(b-x) }dx = (b-a)^2・∫[0,1] √{ t(1-t) }dt と変形する。

更に s = √t と置けば
∫[0,1] √{ t(1-t) }dt = ∫[0,1] s√(1-s^2)(ds/2s) = (1/2) ∫[0,1] √(1-s^2)ds.

∫[0,1] √(1-s^2)ds は、(1/4)円の面積を表す式だから、見たことはあるはずで、
s = sinθ と置いて
∫[0,1] √(1-s^2)ds = ∫[0,π/2] |cosθ|(cosθ)dθ = ∫[0,π/2] (1/2){ 1 + cos(2θ) } dθ
= (1/2)[ θ + (1/2)sin(2θ) ]_(θ=0,π/2) = (1/2){ (π/2 - 0) - (0 - 0) } = π/4
と計算するのが定石。

以上をまとめると、
∫[a,b] √{ (x-a)(b-x) }dx = (b-a)^2・(1/2)・π/4 = (π/8)(b-a)^2.

No.1 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2019/10/03 01:07

x=(a+b)/2+(b-a)/2 sinθ

とおくと
x=a→b のとき θ=-π/2→π/2
dx=(b-a)/2 cosθdθ
∫[x=a→b]√(x-a)(b-x)dx (a<b)
=∫[θ=-π/2→π/2]{(b-a)/2}²cos²θdθ
=(b-a)²/8 ∫[θ=-π/2→π/2](1+cos2θ)dθ
=(b-a)²/8 [θ+sin2θ/2][θ=-π/2→π/2]
=(b-a)²π/8