A=K[x,y](Kは体)
q=(x,y^2)とする。
このときA/q=K[y]/(y^2)
(この=は同型を表します。)
を示したいです。
φ:A→ K[y]/(y^2)
φ(f(x,y))=f(0,y)+(y^2)
で定めるとこの写像について
1. φはwell-defined
2. φは全射
3.ker(φ)=q
を示せば良いと思います。
2.については任意のf(y)+(y^2)について
g(0,y)=f(y)となるようなAの元g(x,y)が取れるので全射でいいと思います。
3についてはqがker(φ)に含まれることはすぐに分かりますし、ker(φ)の任意の元f(x,y)はφ(f(x,y))=f(0,y)+(y^2)=0つまりf(0,y)は(y^2)に含まれるので
f(x,y)はqに含まれるということになり、示されます。
1のwell-definedについてですが、和と積について
[f1(x,y)]= [f2(x,y)]
[g1(x,y)]= [g2(x,y)]ならば
[f1(x,y)+ g1(x,y) ]= [f2(x,y)+ g2(x,y)]
[f1(x,y)g1(x,y)]= [f2(x,y) g2(x,y)]を示せばいいと思いますがこの証明がわかりません。どなたかこの部分の証明を教えてください。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
q=(x,y^2)はx,y^2から生成されるイデアルだから
[f1(x,y)]=[f2(x,y)]
[g1(x,y)]=[g2(x,y)]
だから
f1(x,y)-f2(x,y)∈q=(x,y^2)
g1(x,y)-g2(x,y)∈q=(x,y^2)
だから
{f1(x,y)-f2(x,y)}+{g1(x,y)-g2(x,y)}
=
{f1(x,y)+g1(x,y)}-{f2(x,y)+g2(x,y)}∈q=(x,y^2)
だから
[f1(x,y)+g1(x,y)]=[f2(x,y)+g2(x,y)]
g1(x,y){f1(x,y)-f2(x,y)}∈q=(x,y^2)
f2(x,y){g1(x,y)-g2(x,y)}∈q=(x,y^2)
だから
g1(x,y){f1(x,y)-f2(x,y)}+f2(x,y){g1(x,y)-g2(x,y)}
=f1(x,y)g1(x,y)-f2(x,y)g2(x,y)∈q=(x,y^2)
だから
[f1(x,y)g1(x,y)]=[f2(x,y)g2(x,y)]
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 「FFTの基本は、DFTはサンプル数Nが偶数なら 2つのDFTに分解できるということ。 分解するとD 3 2022/03/31 21:01
- Excel(エクセル) 【Excel】複数列ごとに取得するセルを変更したい 2 2023/03/23 21:04
- Excel(エクセル) 隣り合っていないセルを まとめて税込表示したい 8 2022/09/25 14:32
- 工学 制御工学の問題について 1 2022/10/22 17:44
- Excel(エクセル) セル内の一部に別セルを差し込む 3 2022/09/18 04:39
- 工学 制御工学の問題について 1 2022/10/22 17:42
- Excel(エクセル) 指定した数字まで累計する方法や文字例の抽出について教えてください 4 2022/10/05 21:19
- その他(データベース) 伝票番号、品番、在庫としてマクロでもAccessでもデータ表を作りたいのですが、ご指導お願いします 1 2022/11/13 23:48
- 生物学 エンドウを材料として、 種子の形と葉の色の形質について、遺伝の実験を行った。これらの形質に関する遺伝 1 2023/06/14 21:55
- Excel(エクセル) 【関数】選択した文字列にしたがって、文字を選んで表示する 2 2023/07/13 22:44
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報