平行線は交わる、交わらない？

馬鹿みたいな質問ですいません。
単なる知的好奇心ですが、平行線は無限遠で交わるのでしたか、それとも1点に集約するけど交わらないのでしょうか。
数学は苦手なので難しい理論は説明されても分からないと思いますので、出来ましたら簡潔にお願いします。
よくテレビなどを見てますと、宇宙はワイングラスのように広がり、それが1点に集約して反対側に広がっていく図が出ますが、あの1番狭い所で平行線が交わるかどうか妙に気になります。
高校生のとき「リーマン係数？」「ユークリッド幾何学」とかで習った記憶ですが、恥ずかしながら数学は落第寸前の成績でしたから、今となってはすっかり忘れてしまいました。
子供の数学力が落ちているというニュースを見て、元子供はどうかと考えたら、私も数学はダメでした。

No.4 ベストアンサー 回答者： BLUEPIXY 回答日時： 2004/12/21 01:29

#1>そうしますと、地球儀の極点のような概念でよろしいのでしょうか。

＃１で言っているような球面で考えると、そうですね。極点に限らないで交点と交点が一番遠い点とでも。
数学上は、いわば公準というものが成り立つとして構成する仮想のものといってもいいでしょうから、
仮定が異なれば導かれるものも異なります。
実際の宇宙がどうなっているかというのは、
いわば、数学上の世界とは実質的には関係ないものです。
数学はいわば、抽象的なもので、
それを現実にあてはめて使うかどうかというものであって
その世界像は現実の物と一緒とは限りません。

宇宙が膨張しているということと
歪んでいるということは確かですが、
それは、観測から得られることであって
本質的には数学から導かれるものではありません。
（ちょっと語弊があるかな）

No.3 回答者： acacia7 回答日時： 2004/12/21 00:52

たぶん、一番簡単でおおよそ正しい答えは・・

「平行線が交わるか交わらないか、判らない」です。
＃1の方の答えに有るように、「ユークリッド空間」では平行線は交わりませんし、「リーマン空間」ではかならず交わります。

これはユークリッドやリーマンが採用した公理が違うため発生しますが・・
「公理」はあまりにも自明と思われるため、証明が困難な内容です。

そして公理が空間を規定するわけですが、私たちの存在する空間が空間がユークリッドやリーマンの規定する空間より複雑なのは確かでしょうから、その公理がなんなのかは本当のところはわからないでしょう。

No.2 回答者： apple-man 回答日時： 2004/12/20 20:45

＞あの1番狭い所で平行線が交わるかどうか妙に気になります。

　実はみんな気になっていて、いろいろな
考え方があるのですが、結論はまだありません。

　１点で交わっているとすると、そこが
他と違う点になるので、目印になりますよね。
これを特異点といいます。

　そこを中心に方向が決められるように
なります。宇宙に特異点があるなら、
宇宙に方向があるっていうことになる。

　本当にそうなのか？まだ分かりません。


＞宇宙はワイングラスのように広がり、それが1点に集約して反対側に広がっていく図が出ますが、

　現在有力な説としては、１点に集まらないで
小さなリングになっているだろうということです。

No.1 回答者： BLUEPIXY 回答日時： 2004/12/20 19:20

いわゆる「ユークリッド幾何学」的な扁平な（曲率０の）空間では、平行線は交わりません。

「非ユークリッド幾何学」では交わるとしても交わらないとしても成り立ちます。
例えば、
ユークリッド的な平面では
点と点を結ぶ最短な線を延長したものを線として
その線から離れた点で線に対しての垂線の９０度方向に線を延長しても交わりませんが

球のような平面上では同じ定義ではかならず交わります。

この回答への補足

そうしますと、地球儀の極点のような概念でよろしいのでしょうか。

補足日時：2004/12/20 20:19