数学の円と直線の問題について

中心(2,1) の円に直線5x+12y+4=0が接してるとき
円の半径を求めよ

この問題を接している点(a,b)として
(a-2)(x-2)+(b-1)(x-1)=r^2を利用して解こうとしたら半径が√26になってしまいました。
計算が間違っているのでしょうか？

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/11/21 07:00

途中経過が書かれていませんので、想像してみました。

接点を(a,b) とすると、接線の方程式は
(a-2)(x-2)+(b-1)(y-1)=r²
(a-2)x+(b-1)y-2(a-2)-(b-1)-r²=0……①

いま、接線の方程式は、
5x+12y+4=0……②

①、②より、
a-2=5
b-1=12
-2(a-2)-(b-1)-r²=4

これより、
a=7
b=13
-2(7-2)-(13-1)-r²=4
-10-12-r²=4
r²=-26

ここで、解けなくなってしまいますが、これを誤って、
r=√26
としたのではないでしょうか。

間違いは、①、②よりのところからです。
正しくは、次のようになります。

①、②より、
a-2=5k……③
b-1=12k……④
-2(a-2)-(b-1)-r²=4k……⑤
(ｋは実数)

③、④を⑤に代入
-2(5k)-(12k)-r²=4k
-10k-12k-r²=4k
r²=-26k……⑥

また、②は、点(a,b)を通るので、
5a+12b+4=0……⑦

③より、a=5k+2……③´
④より、b=12k+1……④´
③´、④´を⑦に代入
5(5k+2)+12(12k+1)+4=0
169k=-26
k=-2/13……⑧

⑧を⑥に代入
r²=(-26)(-2/13)=4
r=2

これで求まりましたが、とても大変です。
やはり、点と直線の距離の公式を利用して、
円の中心(2,1)と 直線5x+12y+4=0との距離ｄは、
d=|5×２+12×1+4|/√(5²+12²)=2
この直線が接線なので、
r=d=2
と求めるのが簡単です。

この回答へのお礼

ありがとうございました！
解答では2になっていましたが何度見返してもミスが見当たらずモヤモヤしていましたがすっきりしました！
試験では点と直線の距離の公式を使おうと思います！

お礼日時：2019/11/21 07:32