極限値の計算（その２）

n→∞のとき、n{(n+1)^(1/(n+1)-n^(1/n)}→0 を証明したいのですが、
どうしたらよいでしょうか。教えてください。

質問者からの補足コメント

• 

  失礼しました。n→∞のとき、
  n{(n+1)^(1/(n+1))-n^(1/n)}→0
  の間違いでした。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/11/29 18:08

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2019/11/29 17:25

不可能。

なぜなら、左右のカッコが合っておらず、式になってないからです。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/11/30 01:15

たぶんできた.

n ≧ 3 に対して n^(n+1) > (n+1)^n かつ n^(1/n) < 1/e なので, (n+1)^[1/(n+1)] - n^(1/n) を有理化して相加平均と相乗平均の関係を使えばいける, と思う.

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/11/30 01:24

1.

A[n]=n^(1/n) → 1 (n → ∞) である。というのは
(n-2)個の1と２個の√n を使って、n=1・・・1・√n・√n であるから、AM-GM不等式により、
A[n]≦(1+・・・+1+2√n)/n=(n-2+2√n)/n → 1 (n → ∞)
また、A[n]≧1 は自明だから、挟み撃ちにより、A[n] → 1 (n → ∞)

したがって、x^(1/x) → 1 (x → ∞)・・・・①
を得る。

2.
y=x^(1/x) とすると、logをとって、y'=x^(1/x)(1-logx)/x²・・・・・②
また、x>e のとき、y'<0 なので、yは単調減少。・・・・③

3.
z=x{ (x+1)^1/(x+1)-x^(1/x) }={ (x+1)^1/(x+1)-x^(1/x) }/(1/x) とおく。
➀から、zの分子分母は0/0の不定形となり、ロピタルする。②を使って

分子の微分=(x+1)^1/(x+1){1-log(x+1)}/(x+1)²-x^(1/x)(1-logx)/x²
分母の微分は　-(1/x²) なので

lim z=lim (x+1)^1/(x+1){log(x+1)-1}x²/(x+1)²-x^(1/x)(logx-1)

③から (x+1)^1/(x+1)<x^(1/x) , x/(x+1)<1 なので
lim z≦lim x^(1/x)[ {log(x+1)-1} - (logx-1) ]=lim x^(1/x) [log{(x+1)/x}]

ここで、①とlog{(x+1)/x} → 0　から
lim z=0

x → nとすれば命題は証明された。

この回答へのお礼

endlessriver 様
大変ありがとうございました。検証してみましたところ大丈夫だと思います。
ところで、先に質問した「極限の証明」について、コメントだけでも頂ければ幸いです。

お礼日時：2019/11/30 11:57

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/11/30 02:48

間違えました。

Z<0 なので、ダメでした。

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/11/30 10:51

気を取り直して、#3の途中の次式から始める。

式が複雑すぎるので、無関係な項を除去して
簡単化していく。

lim z=lim (x+1)^1/(x+1){log(x+1)-1}x²/(x+1)²-x^(1/x)(logx-1)
=lim (x+1)^{1/(x+1)}log(x+1)x²/(x+1)²-x^(1/x)logx
　　　　　　- lim (x+1)^{1/(x+1)}x²/(x+1)²-x^(1/x)
=lim (x+1)^{1/(x+1)}log(x+1)x²/(x+1)²-x^(1/x)logx - 0・・・・①を使用

u=(x+1)^{1/(x+1)}log(x+1) x²/(x+1)²-x^(1/x)logx とおくと

lim z=lim u・・・・⑪

logx<log(x+1) を使い
u>[ (x+1)^{1/(x+1)} x²/(x+1)²-x^(1/x) ] log(x+1)
③から　(x+1)^{1/(x+1)}>1　を使って
u>[ x²/(x+1)²-x^(1/x) ] log(x+1)

u>[ x²/(x+1)² - x^(1/x) ] log(x+1)=[ x²/(x+1)² - x^(1/x) ] / {1/log(x+1)}
ロピタルして、➁と {x²/(x+1)²}'=2x/(x+1)³ を使って

lim u≧lim [2x/(x+1)³ + x^(1/x)(logx-1)/x²] / [-1/{(x+1)log²(x+1)}]
=-lim [ {2xlog²(x+1)}/(x+1)² + x^(1/x)(logx-1)(x+1){log²(x+1)}/x² ]
=-lim [ {2x/(x+1)}{log²(x+1)/(x+1)} + x^(1/x) {(x+1)/x} {(logx-1)log²(x+1)/x} ]
・・・・・⑫

ようやく、極限が確定できる形になった。⑫の右辺の始めの項の成分で
2x/(x+1) → 2
となる。および、つぎの部分を順次、ロピタルして
{log²(x+1)}/(x+1) → {2log(x+1)/(x+1)}/1 → 2/(x+1) → 0
したがって、⑫の右辺の始めの項は0となる。

つぎに、⑫右辺の第２項の始めの部分は、①を使って
x^(1/x) {(x+1)/x} → 1・1=1
となる。残りの項は
0<{(logx-1)log²(x+1)/x}<{log(x+1)}³/x
となるが、右辺を順次、ロピタルして

{log(x+1)}³/x → 3{log(x+1)}²/(x+1)}/1 → {6log(x+1)/(x+1)}/1 → 6/(x+1) → 0
となるから、⑫の右辺の第２項も0となる。

結局、⑫の右辺は0となり、⑪から
lim z=lim u≧0
となる。

また、③から z<0 であるので　0≧lim z=lim u≧0　となり、挟み撃ちにより
lim z=0
を得る。

x → nとすれば命題は証明された。┐(´∀｀)┌　・・・今度は大丈夫かな。

No.6 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/11/30 17:44

前問は難しいのですが、考察中です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
小生の知識と力では手に負えないので、よろしくお願いします。

お礼日時：2019/11/30 18:02

No.7 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/11/30 21:44

あまりに泥臭く、ごたごたしているので、別の方法を考えた。

y(x)={x^(1/x)}
とおく。logをとると　logy=(1/x)log(x) 、微分すると
y'=y{-log(x)/x²+1/x²}={x^(1/x)}{1-log(x)}/x²
となる。

平均値の定理から
y(x+1)-y(x)=y'(c)・1={c^(1/c)}{1-log(c)}/c²　(x<c<x+1)
となる。

すると
x{y(x+1)-y(x)}={c^(1/c)}{1/c-log(c)/c}(x/c)

x → ∞のとき、c → ∞だから
x<c<x+1 → 1-1/c<x/c<1　なので x/c → 1
c^(1/c) → 1 (#3の①)
{1/c-log(c)/c} → 0 (第２項はロピタルで -1/c → 0となる)

したがって、
x{y(x+1)-y(x)} → 0
となる。

x=n とすれば、命題を得る。

この回答へのお礼

素晴らしい証明をいただき、ありがとうございました。

お礼日時：2019/12/01 08:41