No.7ベストアンサー
- 回答日時:
あまりに泥臭く、ごたごたしているので、別の方法を考えた。
y(x)={x^(1/x)}
とおく。logをとると logy=(1/x)log(x) 、微分すると
y'=y{-log(x)/x²+1/x²}={x^(1/x)}{1-log(x)}/x²
となる。
平均値の定理から
y(x+1)-y(x)=y'(c)・1={c^(1/c)}{1-log(c)}/c² (x<c<x+1)
となる。
すると
x{y(x+1)-y(x)}={c^(1/c)}{1/c-log(c)/c}(x/c)
x → ∞のとき、c → ∞だから
x<c<x+1 → 1-1/c<x/c<1 なので x/c → 1
c^(1/c) → 1 (#3の①)
{1/c-log(c)/c} → 0 (第2項はロピタルで -1/c → 0となる)
したがって、
x{y(x+1)-y(x)} → 0
となる。
x=n とすれば、命題を得る。
No.5
- 回答日時:
気を取り直して、#3の途中の次式から始める。
式が複雑すぎるので、無関係な項を除去して簡単化していく。
lim z=lim (x+1)^1/(x+1){log(x+1)-1}x²/(x+1)²-x^(1/x)(logx-1)
=lim (x+1)^{1/(x+1)}log(x+1)x²/(x+1)²-x^(1/x)logx
- lim (x+1)^{1/(x+1)}x²/(x+1)²-x^(1/x)
=lim (x+1)^{1/(x+1)}log(x+1)x²/(x+1)²-x^(1/x)logx - 0・・・・①を使用
u=(x+1)^{1/(x+1)}log(x+1) x²/(x+1)²-x^(1/x)logx とおくと
lim z=lim u・・・・⑪
logx<log(x+1) を使い
u>[ (x+1)^{1/(x+1)} x²/(x+1)²-x^(1/x) ] log(x+1)
③から (x+1)^{1/(x+1)}>1 を使って
u>[ x²/(x+1)²-x^(1/x) ] log(x+1)
u>[ x²/(x+1)² - x^(1/x) ] log(x+1)=[ x²/(x+1)² - x^(1/x) ] / {1/log(x+1)}
ロピタルして、➁と {x²/(x+1)²}'=2x/(x+1)³ を使って
lim u≧lim [2x/(x+1)³ + x^(1/x)(logx-1)/x²] / [-1/{(x+1)log²(x+1)}]
=-lim [ {2xlog²(x+1)}/(x+1)² + x^(1/x)(logx-1)(x+1){log²(x+1)}/x² ]
=-lim [ {2x/(x+1)}{log²(x+1)/(x+1)} + x^(1/x) {(x+1)/x} {(logx-1)log²(x+1)/x} ]
・・・・・⑫
ようやく、極限が確定できる形になった。⑫の右辺の始めの項の成分で
2x/(x+1) → 2
となる。および、つぎの部分を順次、ロピタルして
{log²(x+1)}/(x+1) → {2log(x+1)/(x+1)}/1 → 2/(x+1) → 0
したがって、⑫の右辺の始めの項は0となる。
つぎに、⑫右辺の第2項の始めの部分は、①を使って
x^(1/x) {(x+1)/x} → 1・1=1
となる。残りの項は
0<{(logx-1)log²(x+1)/x}<{log(x+1)}³/x
となるが、右辺を順次、ロピタルして
{log(x+1)}³/x → 3{log(x+1)}²/(x+1)}/1 → {6log(x+1)/(x+1)}/1 → 6/(x+1) → 0
となるから、⑫の右辺の第2項も0となる。
結局、⑫の右辺は0となり、⑪から
lim z=lim u≧0
となる。
また、③から z<0 であるので 0≧lim z=lim u≧0 となり、挟み撃ちにより
lim z=0
を得る。
x → nとすれば命題は証明された。┐(´∀`)┌ ・・・今度は大丈夫かな。
No.3
- 回答日時:
1.
A[n]=n^(1/n) → 1 (n → ∞) である。というのは
(n-2)個の1と2個の√n を使って、n=1・・・1・√n・√n であるから、AM-GM不等式により、
A[n]≦(1+・・・+1+2√n)/n=(n-2+2√n)/n → 1 (n → ∞)
また、A[n]≧1 は自明だから、挟み撃ちにより、A[n] → 1 (n → ∞)
したがって、x^(1/x) → 1 (x → ∞)・・・・①
を得る。
2.
y=x^(1/x) とすると、logをとって、y'=x^(1/x)(1-logx)/x²・・・・・②
また、x>e のとき、y'<0 なので、yは単調減少。・・・・③
3.
z=x{ (x+1)^1/(x+1)-x^(1/x) }={ (x+1)^1/(x+1)-x^(1/x) }/(1/x) とおく。
➀から、zの分子分母は0/0の不定形となり、ロピタルする。②を使って
分子の微分=(x+1)^1/(x+1){1-log(x+1)}/(x+1)²-x^(1/x)(1-logx)/x²
分母の微分は -(1/x²) なので
lim z=lim (x+1)^1/(x+1){log(x+1)-1}x²/(x+1)²-x^(1/x)(logx-1)
③から (x+1)^1/(x+1)<x^(1/x) , x/(x+1)<1 なので
lim z≦lim x^(1/x)[ {log(x+1)-1} - (logx-1) ]=lim x^(1/x) [log{(x+1)/x}]
ここで、①とlog{(x+1)/x} → 0 から
lim z=0
x → nとすれば命題は証明された。
この回答へのお礼
お礼日時:2019/11/30 11:57
endlessriver 様
大変ありがとうございました。検証してみましたところ大丈夫だと思います。
ところで、先に質問した「極限の証明」について、コメントだけでも頂ければ幸いです。
No.2
- 回答日時:
たぶんできた.
n ≧ 3 に対して n^(n+1) > (n+1)^n かつ n^(1/n) < 1/e なので, (n+1)^[1/(n+1)] - n^(1/n) を有理化して相加平均と相乗平均の関係を使えばいける, と思う.
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