(4^n)-1が３の倍数であることの証明

nを任意の自然数とするとき、4^n -1 は3の倍数です。この証明方法について別の方法があれば教えてください。

《具体例》
g(n)=4^n -1 として
g(1)=3=3*1
g(2)=15=3*5
g(3)=63=3*21
g(4)=255=3*85
g(5)=1023=3*341

《証明１》
このことは、3を法とする剰余を考え、
4≡1 (mod 3)　であるから
4^n -1 ≡ 1^n -1 ≡ 1-1 ≡0 （mod 3）
と考えることで証明できると思います。

《証明２》
自然数nに関する数学的帰納法で示す。
n=1 のとき、 4^n-1=4-1=3より成り立つ。
n=k（k≧1）のときに成り立つと仮定してn=k+1のときにも成り立つことを示す。
n=k（k≧1）のときに成り立つと仮定すると、ある整数 m を用いて
4^k -1 = 3m と表せる。
この両辺に4をかけて
4^(k+1) -4 = 12m
この両辺に3を加えて
4^(k+1) -1 = 12m+3 = 3(4m+1)
ゆえに、n=k+1のときにも成り立つ。
したがって、4^n -1 はすべての自然数に対して 3 の倍数であることが示された。


その他の証明方法はあるでしょうか？
もっと初等的な（または高等的な）証明方法があれば教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/12/10 16:30

a^n-b^n=(a-b)(a^n-1+a^n-2・b+a^n-3・b²+・・・+a・b^n-2+b^n-1)

と言う因数分解公式を知っていれば簡単です
a=4,b=1として
(4^n)-1=4^n-1^n
=(4-1)(4^n-1+4^n-2+4^n-3＋・・・・+４+1)
=3ｘ○

この回答へのお礼

ほんとだ！きれいな因数分解の公式、これによって簡潔に説明できるのですね。これだと高校一年生でもわかるような気がします。また、質問に書いたg(n)が3×mと分解されたときのmについても、等比数列の和として計算できることにも気がつきました。

お礼日時：2019/12/10 18:08

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/12/10 15:43

4^n－1=(3+1)^n－1

=ｎC₀3^n+ｎC₁3^(n-1)+ｎC₂3^(n-2)+……+ｎC(n-1)3^1+ｎCｎ3^0－1
＝ｎC₀3^n+ｎC₁3^(n-1)+ｎC₂3^(n-2)+……+ｎC(n-1)3^1
したがって、３の倍数です。

この回答へのお礼

なるほど、二項展開を上手く利用すると簡潔に証明できるのですね！私には驚きです！

お礼日時：2019/12/10 16:23