有効数字について教えて下さい。 40の近似値は39.5～40.4だとします。 しかし小数第二位を四捨

有効数字について教えて下さい。
40の近似値は39.5～40.4だとします。
しかし小数第二位を四捨五入したときには、例えば40.49の場合には40.5になってしまいますよね？

こうなると有効数字はどう表すのですか？

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/12/14 15:46

40の近似値は39.5～40.4だとします。

>これ（４０）は有効数字2桁という事です
0は少々怪しい（少々誤差有り）と言う意味で１の位は本当に０かもしれないし、ほんとは９かもしれないという事です
最大で±1程度の誤差を末尾に含んでいるという意味です
だから有効数字2桁で表された40は、真の値ではなく
本当の値は　39.5から40.4(正確には40.4999・・・）の間にあるいずれかの数という事を示しています
このように、有効数字の末尾には最大で±1程度の誤差が含まれています

ここで、ある物の長さを定規で計ったら40.49cmと読み取れたとします
定規ですから、普通は0.1cmまでメモリが付いています
ということは、末尾の９は目分量で読み取ったという事になります
従って９には少々の誤差（±1程度）が含まれている可能性が大です
40.4までは目盛つきですから誤差は含まれず正確です
という事は末尾９だけが誤差を含んでいますから、この場合40.49は有効数字4桁の数値という事になります
もし、定規のメモリがcm単位までしかなければ、末尾９だけでなく小数1位の4も目分量で読み取ったことになりますから
40までは正確な数値で.49には誤差が含まれることになります
0.4の4がすでに（誤差で）信頼できないのだから、９は（誤差まみれで）なおの事信頼できません
従って、この場合９は無意味な数字という事になります
こういう場合、小数2位以下は完全に無意味ですから有効数字は40.4(有効桁は3桁）となります。
ちなみに、メモリが10cm単位までしかついていない場合、40.49を読み取っても.49は誤差まみれですから、有効数字は2桁で４０となります

これが有効数字の扱い方です
測定によって得られた数値の場合、四捨五入をするのではなくて
どこまでが意味のある数字で、どこからは完全無意味なのかという事を判断して、完全無意味な数字は無視して表記するのです
繰り返しになりますが、有効数字は末尾だけやや不正確（±１程度）となるように表記するのです


もし40.49が計算によって得られたもの場合については以下です
（問題文などに）登場する数値（測定値など）の有効数字によって、答えの有効数字は決まってきます
有効数字が2桁の問題で掛け算割算の結果40.49が得られたなら、3桁目の4を四捨五入して40を答えとします→このとき4桁目は誤差まみれなので無視です
もし有効数字が3桁なら,4桁目を四捨五入して40.5を答えとします

また、足し算引き算の結果が40.49なら登場する測定値のうち末位が最も高いものに合わせて答えとします
例えば測定値40と0.4と0.09を足算なら　
40の一の位：０に誤差が含まれていますからこれ以下の位は誤差まみれで無意味です
なので、40+0.4+0.09の計算結果の１の位にも誤差がふくまれており、小数点以下は誤差まみれです
ということで、末位が１の位の４０と、末位が小数点以下である0.4と0.09を比べ
末位最高の40にあわせて有効数字は１の位となります
→40+0.4+0.09=40.49　小数１位で四捨五入して
=40・・・　答え　となります

もし 40.0+0.4+0.09なら　末位最高は40.4及び0.4の小数１ですから　答えも小数１位まで書きます
40+0.4+0.09=40.49　小数２位で四捨五入して
=40.5・・・答え

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2019/12/14 00:54

＞40の近似値は39.5～40.4だとします。

いいえ、違います。

有効数字２桁の「40」は、真値が
　39.5 ～ 40.499999････
のどこかにあるということです。

＞しかし小数第二位を四捨五入したときには

それは、「有効数字が小数点以下第１位まで」ということですから、「40.4」であれば、真値が
　40.35 ～ 40.4499999････
ということです。「40.49」はこの中には入りません。

＞例えば40.49の場合には40.5になってしまいますよね？

「40.49」という数値は、「40.45 ～ 40.549999････」の中の１つの数値であって、「0.09」は有効数字外の桁、つまり誤差を含んだ数字です。なので「信用できないので四捨五入してその上の桁までの表記にする」ということです。あくまで「有効数字は小数点以下第１位までで、信用できる数値としては 40.5」です。

「有効数字」とは「どの桁まで信用できるか」というもので、本来はきちんと「誤差表示」をして
　　40 ± 0.5　　←「四捨五入」という意味では、この「+ 0.5」は「+ 0.49999･･･(無限小数）」ということです。
と書くべきものを、「有効数字２桁で 40」と「簡易表記」しているのです。
「有効数字３桁（小数点以下第１位まで）」ということであれば、誤差の表記は
　　40.0 ± 0.05
となり、有効数字の表記としては「40.0」となります。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/12/14 00:08

2桁に四捨五入する場合の話でしょうか。

①丸めは2回に分けて行なうことは出来ません。
②四捨五入で2桁で40になる範囲は
39.50000・・・から40.49999・・・までです。