場合の数

次の問題が分かりません。
1から7までの数が書かれたカードを並べる。3,4,5のどの2枚も隣り合わない確率を求めよ。

全ての場合(7!)から隣り合う場合を引いて求めようと思います。
2枚だけ隣り合う場合が(2×6!)×3通り
3枚とも隣り合う場合が(3×2×1)×5!通り
この続きはどうなるのでしょうか?

質問者からの補足コメント

• では2枚だけ隣り合うのは3(2×6!-2×5!)通りで正しいでしょうか？

    補足日時：2020/01/07 18:48

• 間違えました
  2×5!ではなく4×5!ですか？

    補足日時：2020/01/07 18:54

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/01/08 12:25

ややこしくして考えて間違うリスクを高めるより、単純に考えたほうが良いと思いますよ

1,2,6,7を先ず配置・・・その方法は4!通り
A○B○C○D○E というように配置した4数字の両端と間の5か所に名前を付ける（ただし、○は１，２，６，７が入る場所）
A~Eのつから３つを選んで並べる方法は　ADBなど　5P3通り
並んだアルファベットに左から順に3,4,5を当てはめると考えて
A○B○C○D○E　のA~Eに3,4,5を当てはめる順列も 5P3通り
また7数字の順列の総数は7!
ゆえに、求める確率は
4!x5P3/7!=4x3x2x5x4x3/(7x6x5x4x3x2x1)=2/7

この回答へのお礼

ありがとうございます!!

お礼日時：2020/01/08 14:26

No.2 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/01/08 10:12

隣り合う2枚の選び方は3通り。

その3通りについて、隣り合う2枚の順番を逆にしたものも考えられるので2通り。
その1組と残り5枚の6つの並べ方は6!通り。
これより、2枚が隣り合う並べ方は、３×２×6!=6×6! (通り)……①

ここで気をつけなければいけないことは、この中には3枚とも隣り合う場合が含まれていて、それについて同じものをだぶって数えています。
例えば、隣り合う2枚として(3,4) を選んだ時に、(3,4) の右隣りに５がきた場合と、
隣り合う2枚として(4,5) を選んだ時に、(4,5) の左隣りに3がきた場合とは、どちらも(3,4,5) の並びとなり同じものです。
このように3枚とも隣り合う場合については、だぶって数えてしまっているので、そのだぶりを解消しなければなりません。

3枚とも隣り合う場合は(3×2×1)×5!=6×5!=6! (通り) ですが、①ではこれをだぶって数えていますので、これを除きます。
６×6!－6!=6!(6－1)=5×6! (通り)
これが2枚が隣り合う場合の数です。(3枚とも隣り合う場合も含まれています)
よって、3,4,5のどの2枚も隣り合わない場合の数は、7!－5×6!=7×6!－５×6!=(7－5)×6!=2×6! (通り)

したがって、求める確率は、
(2×6!)/7!=(2×6!)/(7×6!)=2/7

確率を求める時に、次の場合分けは不必要ですが、
2枚だけ隣り合う場合は、4×6! (通り)
3枚とも隣り合う場合は、6! (通り)
となります。

この回答へのお礼

ありがとうございます‼

お礼日時：2020/01/08 14:26

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/01/07 18:35

2枚だけ隣り合う場合が(2×6!)×3通り←←←これ違っていると思いますよ

というのも、隣り合う2枚が3,4だとして
(3-4)-○-○-○-○-○などが(2×6!)×3通りの1部に数えられていることになります
しかしその中には、3-4-5-○-○-○-○なども含まれていることを考慮しなければなりません
という事は、(2×6!)×3通りは2枚だけ隣り合う場合の数ではないという事です
つまり、この考え方はすでに間違い

１２６７を先に配置して両端と間の計5か所に3,4,5を配置する方法は？と考えたほうが良さそうです