変曲点について。

2回微分すると、変曲点がわかると、上に接するか、下に接するかがわかりますが、それを画像付きで、解説していただけないでしょうか？また、なぜ、変曲点は、交点があるのに、接するというのでしょうか？教えていただけると幸いです。すみません。間違っていたら。

質問者からの補足コメント

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  変曲点の交点というのは、接線の接点のことです。こんなことを聞いた覚えがあって、「接線は、接するときだけでは、なくて、交点を持つ場合がある」というのが、しっくりきません。教えていただけると幸いです。すみません。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/02/09 22:09

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  そうです。そういうことです。教えていただけると幸いです。

  No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/02/10 18:38

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/02/08 23:59

＞2回微分すると、変曲点がわかると、上に接するか、下に接するかがわかりますが

「２回微分する」と、「１回微分」した「接線の傾き」の「変化度合い」が分かります。
なので、「極値」をとるところ、つまり「１回微分」が =0 になるところの「２回微分の値」を見れば、
・「２回微分」が正なら、接線の傾きが「負→正」に変わるということですから、「極小」（下に接する）ことが分かる
・「２回微分」が負なら、接線の傾きが「正→負」に変わるということですから、「極大」（上に接する）ことが分かる
ということです。

「極値」をとるところは「変曲点」ではありません。
あくまで「極値」ですから、
「極大」なら「接線の傾き = ０」の直線と「上で接する」
「極小」なら「接線の傾き = ０」の直線と「下で接する」
ということです。

図を書くまでもないでしょ？

「極値」をとるところでは「１回微分 =0」ですが、 「１回微分 =0」といっても必ずしも「極値」をとるとは限りません。
「変曲点」の場合にも「１回微分 =0」ですが、そのときには「極大」でも「極小」でもありません。
「変曲点」では、 「接線の傾き」の「変化度合い」、つまり「２回微分」が =0 になります。
『「接線の傾き」の「変化度合い」』が =0 になるということは、接線の傾きが「負→正」に変わるか、「正→負」に変わるということです。


以上をまとめると、
・「１回微分 =0」であれば、「極大」または「極小」または「変曲点」
・その点での「２回微分が」
　・「正」であれば「極小」（傾き 0 の直線、つまり「水平線」と下に接する）
　・「負」であれば「極大」（傾き 0 の直線、つまり「水平線」と上に接する）
　・「0」であれば「変曲点」
ということです。

＞変曲点は、交点があるのに、接するというのでしょうか？

変曲点の「交点」ってなんですか？
「接する」のは「極大」「極小」の方のことではないですか？

No.8 回答者： majimelon37 回答日時： 2020/02/10 02:26

図１から４に　y=x，y=x²，y=x³，y=x⁴　と　y=０のグラフを描いた。

y=０はx軸である。
二つの曲線y=f(x)とy=g(x)について、y₀＝f(x₀)＝g(x₀)の関係が成立するとき、この二つの曲線は点(x₀，y₀)で交わる、という。点(x₀，y₀)を交点という。
図１から４で、y=x，y=x²，y=x³，y=x⁴はすべてy=０と交わっている。
交点において、y’₀＝f’(x₀)＝g’(x₀)’が成立するとき、この二つの曲線は点(x₀，y₀)で接する、という。点(x₀，y₀)を接点という。
接点において、さらにy’’₀＝f’’(x₀)＝g’’(x₀)’が成立するとき、これを３次の接触、３次の接点という。
図１から４で、原点はそれぞれ、１次から４次の接触点の例となっている。
接触の次数が高いほど、べったりとくっ付いている。
注意：直線は曲線の一種と考えるので、y=０とy=xも二つの曲線という中に含まれる。
直線は曲線ではないという区別の仕方は、数学とは異なる素人(しろうと)考えである。
接点は交点ではないという区別の仕方は、やはり素人考えである。
そういう区別を作ると包括的な理論を作る邪魔になる。

No.7 回答者： yhr2 回答日時： 2020/02/09 22:26

No.1 です。

「補足」に書かれたことについて。

＞「接線は、接するときだけでは、なくて、交点を持つ場合がある」というのが、しっくりきません。

書かれていることの意味がよく分かりませんが、下記の図のように「三次曲線」の「接線」が、別な場所でその三次曲線との交点を持つ、というようなことですか？
　↓
https://examist.jp/mathematics/differential/sess …

No.6 回答者： アンドロメダシティ 回答日時： 2020/02/09 22:22

接線の定義で検索。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/02/09 08:46

接点が交点ではない

というのは、古(いにしえ)の直感的な幾何学の定義で
接線がライプニッツにより再定義されて以来使われなく
なった古い古い定義です。

No.4 回答者： uyama33 回答日時： 2020/02/09 07:35

混乱の原因は、”接する”の意味をどのように理解するかにあります。

図は描けませんが、
Y=x (ｘ＞＝０)
Y=-x (ｘ＜０)
のグラフは原点の近くで、V字型になっています。
普通の日本語では、
原点を通る様々な直線
Y=0
Y=0.1x
Y＝0.2x
Y=-0.5x
などは、V字型のグラフと１点（原点）を共有します。
ちょこっとくっついている。
と言うような、普通の日本語の意味では、接線（普通の日本語の意味での、張り付いている線）になりますが、
数学の方では、
これらを接線とは言いません。
教科書に、
”グラフが、グラフ上の点Pで接線を持つとは。。”
”。。。を接線という。”
と言う記述があると思います。
この定義に当てはまるものが、
数学での接線であり、その接線は、接点でグラフに接すると言うことになります。
日本語の意味とは別のものです。教科書で確認しましょう。


接線の意味としては、ちょこっと接する点とそこを通る直線ではなくて、
もとのグラフを、接点の近くで、上手く近似できる直線を接線だと考えましょう。

曲線や曲面に対して、各点ごとに、曲線や、曲面を近似する直線や平面を考えます。
これが接空間です。（直線の場合は接線）

接するというよりは、
曲がったものを、上手く近似できるような真直ぐなもの
と理解しましょう。

あまり適当ではないのですが、
丸い地球上にあるあなたの町を表す地図は、平面です。
平らな地図は、山を貫きます。

以上。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/02/09 02:52

y=x^3 のグラフは (0, 0) を変曲点にもちその点において直線 y=0 と接します.

となるように「接線」を定義するのが普通.

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/02/09 00:53

No.1 です。

少し補足。

「１回微分 =0」で、かつ「２回微分 =0」であれば、「変曲点」なので「傾き 0 の直線、つまり水平線」と交わります。
この場合には「交わる」のであって、「傾き 0 の直線、つまり水平線」に「接する」ことはありません。


よけいなことを書くとかえって混乱するかもしれませんが、一般の「変曲点」では「１回微分 =0」である必要はなく、１回微分に関係なく「２回微分」が「負→正」あるいは「正→負」に変化すればよいです。
https://mathtrain.jp/henkyokuten

#1 に書いたのは、まず「１回微分 =0」ありき、というときの話です。