No.1ベストアンサー
- 回答日時:
>2回微分すると、変曲点がわかると、上に接するか、下に接するかがわかりますが
「2回微分する」と、「1回微分」した「接線の傾き」の「変化度合い」が分かります。
なので、「極値」をとるところ、つまり「1回微分」が =0 になるところの「2回微分の値」を見れば、
・「2回微分」が正なら、接線の傾きが「負→正」に変わるということですから、「極小」(下に接する)ことが分かる
・「2回微分」が負なら、接線の傾きが「正→負」に変わるということですから、「極大」(上に接する)ことが分かる
ということです。
「極値」をとるところは「変曲点」ではありません。
あくまで「極値」ですから、
「極大」なら「接線の傾き = 0」の直線と「上で接する」
「極小」なら「接線の傾き = 0」の直線と「下で接する」
ということです。
図を書くまでもないでしょ?
「極値」をとるところでは「1回微分 =0」ですが、 「1回微分 =0」といっても必ずしも「極値」をとるとは限りません。
「変曲点」の場合にも「1回微分 =0」ですが、そのときには「極大」でも「極小」でもありません。
「変曲点」では、 「接線の傾き」の「変化度合い」、つまり「2回微分」が =0 になります。
『「接線の傾き」の「変化度合い」』が =0 になるということは、接線の傾きが「負→正」に変わるか、「正→負」に変わるということです。
以上をまとめると、
・「1回微分 =0」であれば、「極大」または「極小」または「変曲点」
・その点での「2回微分が」
・「正」であれば「極小」(傾き 0 の直線、つまり「水平線」と下に接する)
・「負」であれば「極大」(傾き 0 の直線、つまり「水平線」と上に接する)
・「0」であれば「変曲点」
ということです。
>変曲点は、交点があるのに、接するというのでしょうか?
変曲点の「交点」ってなんですか?
「接する」のは「極大」「極小」の方のことではないですか?
No.8
- 回答日時:
図1から4に y=x,y=x²,y=x³,y=x⁴ と y=0のグラフを描いた。
y=0はx軸である。
二つの曲線y=f(x)とy=g(x)について、y₀=f(x₀)=g(x₀)の関係が成立するとき、この二つの曲線は点(x₀,y₀)で交わる、という。点(x₀,y₀)を交点という。
図1から4で、y=x,y=x²,y=x³,y=x⁴はすべてy=0と交わっている。
交点において、y’₀=f’(x₀)=g’(x₀)’が成立するとき、この二つの曲線は点(x₀,y₀)で接する、という。点(x₀,y₀)を接点という。
接点において、さらにy’’₀=f’’(x₀)=g’’(x₀)’が成立するとき、これを3次の接触、3次の接点という。
図1から4で、原点はそれぞれ、1次から4次の接触点の例となっている。
接触の次数が高いほど、べったりとくっ付いている。
注意:直線は曲線の一種と考えるので、y=0とy=xも二つの曲線という中に含まれる。
直線は曲線ではないという区別の仕方は、数学とは異なる素人(しろうと)考えである。
接点は交点ではないという区別の仕方は、やはり素人考えである。
そういう区別を作ると包括的な理論を作る邪魔になる。
No.7
- 回答日時:
No.1 です。
「補足」に書かれたことについて。>「接線は、接するときだけでは、なくて、交点を持つ場合がある」というのが、しっくりきません。
書かれていることの意味がよく分かりませんが、下記の図のように「三次曲線」の「接線」が、別な場所でその三次曲線との交点を持つ、というようなことですか?
↓
https://examist.jp/mathematics/differential/sess …
No.4
- 回答日時:
混乱の原因は、”接する”の意味をどのように理解するかにあります。
図は描けませんが、
Y=x (x>=0)
Y=-x (x<0)
のグラフは原点の近くで、V字型になっています。
普通の日本語では、
原点を通る様々な直線
Y=0
Y=0.1x
Y=0.2x
Y=-0.5x
などは、V字型のグラフと1点(原点)を共有します。
ちょこっとくっついている。
と言うような、普通の日本語の意味では、接線(普通の日本語の意味での、張り付いている線)になりますが、
数学の方では、
これらを接線とは言いません。
教科書に、
”グラフが、グラフ上の点Pで接線を持つとは。。”
”。。。を接線という。”
と言う記述があると思います。
この定義に当てはまるものが、
数学での接線であり、その接線は、接点でグラフに接すると言うことになります。
日本語の意味とは別のものです。教科書で確認しましょう。
接線の意味としては、ちょこっと接する点とそこを通る直線ではなくて、
もとのグラフを、接点の近くで、上手く近似できる直線を接線だと考えましょう。
曲線や曲面に対して、各点ごとに、曲線や、曲面を近似する直線や平面を考えます。
これが接空間です。(直線の場合は接線)
接するというよりは、
曲がったものを、上手く近似できるような真直ぐなもの
と理解しましょう。
あまり適当ではないのですが、
丸い地球上にあるあなたの町を表す地図は、平面です。
平らな地図は、山を貫きます。
以上。
No.2
- 回答日時:
No.1 です。
少し補足。「1回微分 =0」で、かつ「2回微分 =0」であれば、「変曲点」なので「傾き 0 の直線、つまり水平線」と交わります。
この場合には「交わる」のであって、「傾き 0 の直線、つまり水平線」に「接する」ことはありません。
よけいなことを書くとかえって混乱するかもしれませんが、一般の「変曲点」では「1回微分 =0」である必要はなく、1回微分に関係なく「2回微分」が「負→正」あるいは「正→負」に変化すればよいです。
https://mathtrain.jp/henkyokuten
#1 に書いたのは、まず「1回微分 =0」ありき、というときの話です。
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