場合の数の考え方

問題
赤玉３個、白玉３個、黒玉２個、計７個の玉が入った箱からA,B,Cの三人が順にそれぞれ２個ずつ玉を取り出す（取り出した玉は箱に戻さない）

（１）A,B,C三人がそれぞれ異なる色の玉を取り出す確率を求めよ

まず異なる色の取り出し方が
(ⅰ)赤黒・赤白・黒白
(ⅱ)赤白（ｘ）・赤白（ｚ）・赤黒
(ⅲ)赤黒・赤黒・赤白

の３パターン。（後に説明で使うのでｘ、ｚとおいておきます）

（ⅰ）について
（３×２）×（２×２）×（１×１）＝２４通り
A,B,Cがどの取り方（赤黒・赤白・黒白）をするかによって３！通り。よって２４×６＝１４４通り

そして問題は（ⅱ）の計算なんですが、僕はこう計算してしまいます。
（３×２）×（２×１）×（１×２）＝２４通り
同じようにA,B,Cがどの取り方をするかで考えるが、同じ赤白（上記ｘ、ｚのこと）でもそれぞれの玉は区別して考えるとしたので、結局は違うもの。よって（ⅰ）同様に３！通り考えられる（→×）したがって２４×６＝１４４通り

多分原因は（３×２）×（２×１）×（１×２）と考えた時点でもうｘ、ｚの逆パターンまで数え上げてる、ということだと思います。つまりどの取り方をするかで考えるのは３！/２！＝３通り。ゆえに２４×３＝７２通り。ただなんとなくそうだなって思えるくらいであまり理解しているとは思えません。
ちなみに解答では{（３×２）×（２×１）}÷２×（１×２）×３！としていましたが、頭が固いのでちょっと分かりにくいです。

前述しましたがよくこの手の問題（赤・白・黒のカードが１枚・２枚・３枚あり、この６枚のカードをA,B,Cの箱の無作為に２枚ずついれる...など）でよく場合の数の求め方で止まってしまいます。
一番理解したいのは上で間違った計算をした部分についてですが、他にもアドバイス（確率全般について）があればどんなことでもいいのでよろしくお願いします！！

No.4 ベストアンサー 回答者： dollar 回答日時： 2005/01/03 23:26

分母は

7C2×5C2×3C2＝６３０通り
と設定しました。では分子を求めてみましょう。
これから、下記の３パターンについて、それぞれの場合の数を求めて、それらを合計しましょう。その合計値が分子となります。
(1)赤黒・赤白・黒白
(2)赤白・赤白・赤黒
(3)赤黒・赤黒・赤白

(1)赤黒・赤白・黒白
まずは「Ａが赤黒・Ｂが赤白・Ｃが黒白」と勝手に仮定して話を進めましょう。
「Ａが赤黒・Ｂが赤白・Ｃが黒白」の場合の数を求めます。
「Ａが赤黒・Ｂが赤白・Ｃが黒白」という表現は、実際には

「Ａが赤黒・Ｂが赤白・Ｃが黒白」
「Ａが赤黒・Ｂが赤白・Ｃが白黒」
「Ａが赤黒・Ｂが白赤・Ｃが黒白」
「Ａが赤黒・Ｂが白赤・Ｃが白黒」
「Ａが黒赤・Ｂが赤白・Ｃが黒白」
「Ａが黒赤・Ｂが赤白・Ｃが白黒」
「Ａが黒赤・Ｂが白赤・Ｃが黒白」
「Ａが黒赤・Ｂが白赤・Ｃが白黒」

という８つの場合を含んでおり、このことを考慮しなければならないかのように（一見）思えますが、今回の計算法では「Ａが赤黒」だろうが「Ａが黒赤」だろうが気にしない、同じとみなす、という方針でやっているので、わざわざこれらを「別物とみなして８倍する」という操作は必要ありません。

従って「Ａが赤黒・Ｂが赤白・Ｃが黒白」となる場合の数は
（３×２）×（２×２）×（１×１）＝２４通り
実際には
「Ａが赤黒・Ｂが赤白・Ｃが黒白」
「Ａが赤黒・Ｃが赤白・Ｂが黒白」
「Ｂが赤黒・Ａが赤白・Ｃが黒白」
「Ｂが赤黒・Ｃが赤白・Ａが黒白」
「Ｃが赤黒・Ａが赤白・Ｂが黒白」
「Ｃが赤黒・Ｂが赤白・Ａが黒白」
と、組合せが６通り存在するので、２４×６＝１４４通り　ですね。

では次に、（2）に入ります。


（2）赤白・赤白・赤黒
これも「Ａが赤白・Ｂが赤白・Ｃが赤黒」と勝手に決めてしまいましょう。
「Ａが赤白・Ｂが赤白・Ｃが赤黒」となる場合の数を求めます。

まず、
「Ａが赤白」・・・３×２＝６
「Ｂが赤白」・・・２×１＝２
「Ｃが赤黒」・・・１×２＝２
掛け算して、２４通り。
ここまでは大丈夫。
さて、
「Ａが赤白・Ｂが赤白・Ｃが赤黒」となる場合の数を求めたのですが、実際には

「Ａが赤白・Ｂが赤白・Ｃが赤黒」
「Ａが赤白・Ｃが赤白・Ｂが赤黒」
「Ｂが赤白・Ａが赤白・Ｃが赤黒」
「Ｂが赤白・Ｃが赤白・Ａが赤黒」
「Ｃが赤白・Ａが赤白・Ｂが赤黒」
「Ｃが赤白・Ｂが赤白・Ａが赤黒」

と、６通りの組合せが存在するので、６倍して・・・と、ここでチョット待った！
本当に６倍でしょうか？
結論から言うと、ここは、
「Ａが赤白・Ｂが赤白・Ｃが赤黒」
「Ａが赤白・Ｃが赤白・Ｂが赤黒」
「Ｂが赤白・Ｃが赤白・Ａが赤黒」
の３通りの組合せで、３倍で良いのです。

（ここからは気合入れてよく読んで下さい）

先程の６通りの組合せをもう１度見て下さい。
「Ａ赤白・Ｂ赤白・Ｃ赤黒」と「Ｂ赤白・Ａ赤白・Ｃ赤黒」はどこが違うのでしょうか？
わかりやすく説明するため、赤玉には１・２・３、白玉には１・２、黒玉には１・２という数字が書いてあると思って下さい。これから「赤１」「赤２」などという呼び方をします。

いま、我々は「Ａ赤白・Ｂ赤白・Ｃ赤黒となる場合の数は（３×２）×（２×１）×（１×２）＝２４通りだと言いました。
ここで、
「Ａが赤白」・・・３×２＝６
というのは、Ａの持っている玉が「赤１と白１」「赤１と白２」「赤２と白１」・・・「赤３と白２」という６通りを表しています。
「Ｂが赤白」・・・２×１＝２
というのは、Ｂの持っている玉が「赤１と白１」「赤２と白１」という２通り（Ａさんが何番目の赤玉を引き当てたかによって番号は変わるけど）を表しています。

この計算によって、「Ａ赤白・Ｂ赤白」となる全ての場合を数えつくしていることにお気づきでしょうか？
仮にここでＡとＢがお互いの持っている玉を交換し、
「Ａ赤白・Ｂ赤白・Ｃ赤黒」⇒「Ｂ赤白・Ａ赤白・Ｃ赤黒」
と変更されたとしても、それは既にこの計算法によってカバーされており、改めて２倍する必要はないことがわかります。

（気合入れて読むところ終了）

従って、
「Ａが赤白・Ｂが赤白・Ｃが赤黒」
「Ａが赤白・Ｃが赤白・Ｂが赤黒」
「Ｂが赤白・Ｃが赤白・Ａが赤黒」
の組合せを考慮して３倍し、（2）の場合の数は、
２４×３＝７２通り
となります。

(3)赤黒・赤黒・赤白
お気づきかもしれませんが、これは（）と全く同じ条件です。計算する必要ありません。７２通りです。

（1）（2）（3）を合計して、２８８通り。

２８８通り÷６３０通り＝16/35
以上です。案外長くかかってしまった。

確率は説明が難しいです。わかりやすく書いたつもりなのですが、質問者さんと私とでこだわる箇所が異なったりするので、わかりにくいかもしれません。
不明な点ありましたらお礼欄にどうぞ。

この回答へのお礼

いえ！とてもよく分かりました！ここまで丁寧に説明していただきありがとうございます。
やはり自分の予想していた点が間違いだったのですね。前述しましたが、確率はほんとに苦手なのでこういう考えが入ってくるとほんとに止まってしまいます。以後このような考えも取り入れてやっていきたいと思います！本当にありがとうございました！

お礼日時：2005/01/04 13:07

No.3 回答者： dollar 回答日時： 2005/01/03 19:37

No.1です。

No.2さんと質問者さんとで問題に対する解釈が違いますね。

No.2さんは「Ａ・Ｂ・Ｃそれぞれが、お互いに他人と異なる玉を取る」という解釈。
質問者さんは「Ａ・Ｂ・Ｃら３人とも、手持ちの２玉の色が異なる」という解釈。

模範解答が16/35ということは、質問者さんの解釈が正解のようですね。（しかしこの問題文では題意が伝わりにくいです）

さて回答なのですが、確率の問題は「何を全体集合とするか（何を分母とするか）」によって解き方が変わってきます。
今回、分母をいくつに設定するのが良いか考えて見ましょう。

Ａ・Ｂ・Ｃの３人が２個ずつ取るのですから、計６個取ることになりますね。
つまり７個から６個取るのですから、その取り方は
7P6[通り]です。

この数え方は
Ａさんの最初に取る玉
Ａさんの２番目に取る玉
Ｂさんの最初に取る玉
Ｂさんの２番目に取る玉
Ｃさんの最初に取る玉
Ｃさんの２番目に取る玉
の６つを全て区別した数え方です。

もし「Ａさんの手持ち２個については区別しないよ」というのであれば、分母は
7C2×5C2×3C2
となり、先ほどの値とは別になってきます。

さて、ここまではわかりましたでしょうか？
できればどちらの解き方で解説すれば良いか、方針を決めてくださると助かるのですが。

この回答へのお礼

ここまでは大丈夫です！
確率において、同じ色の玉やカードなどの区別の有無は自分の好きなように決めていいが、その際に分母と分子の数え上げは同じ基準で考える。ということは理解しています。
僕は回答者様のほうですと後者を取って考える事が多いので（というか前者はちょっと苦手です...確率自体かなり苦手ですので...）、後者で説明していただけると幸いです。よろしくお願いします。

お礼日時：2005/01/03 21:53

No.2 回答者： nanakin 回答日時： 2005/01/03 13:42

そもそも解釈を間違っていないか？

せめて確率の問題を聞くならば答えの
値を載せてくれないと・・・・・
（実際、聞かれて一番答えにくい分野）

>三人がそれぞれ異なる色の玉を取り出す確率
だから、、、赤をR、白をW、黒をBと置くと
　　　　　A　B　C
パターン１R　W　B
パターン２R　B　W
パターン３W　R　B
パターン４W　B　R
パターン５B　R　W
パターン６B　W　R
の計６パターンじゃないかな？
で、各パターンの起こる確率同じだから
全体の確率＝一つのパターンの起こる確率*3!

　　　　　A　B　C
パターン１R　W　B
の生じる確率は
(3C2/7C2)*(2C2/5C2)*(2C2/3C2)=1/70

1/210*3!=1/35←答

になりませんか？

質問の中の
{（３×２）×（２×１）}÷２×（１×２）×３！
の式が気になりますが、、、、括弧の使い方とか
ひとまず模範解答の値だけでも出してください。

この回答への補足

答えは16/35です。
式は{（３×２）×（２×１）}×１/２×（１×２）×３！と書き換えておきます。すみません。

補足日時：2005/01/03 14:55

No.1 回答者： dollar 回答日時： 2005/01/03 13:20

補足要求です。

＞赤玉３個、白玉３個、黒玉２個、計７個

これでは計８個になってしまいます。

「赤玉３個、白玉２個、黒玉２個」
の間違いでしょうか？

この回答への補足

すみません！その通りです。

補足日時：2005/01/03 14:53