【数3 微分法】 例2の下から３行目の lhl が-hになってるのがよくわかりません。x<0のときの

【数3 微分法】

例2の下から３行目の lhl が-hになってるのがよくわかりません。x<0のときのグラフが、y=-xだからでしょうか？
もしそうだとしたら、xがhに変わってるけど大丈夫なんですかね？

あと、グラフから見ると、右側極限と左側極限は0で一致しているように見えるんですけど、なんで違うんですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/04/02 17:30

x=0の微分係数をもとめようとしているのでx=0

hはｘの増加量
f(0+h)はｘ＝０からｘがｈだけ増加したときのf(x)の値
ということで　x=0から　x=0+hに増加した場合
f(0+h)-f(0)/h ＝　f(x)の増加量/xの増加量=（平均の）変化の割合＝（平均の）傾き
を示している
でhの幅を極限まで小さくしてLimｈ→０とすると　x=0での瞬間の傾き　すなわち　f'(x)となる
このことを把握しておくことが必要

limh→-0では　hをマイナス側から０に近づけるので　hはマイナスの数値を持っている
ゆえに|h|=-h

で、Lim|h|/h　はx=0での傾きを示している
右側から調べた場合と左側から調べた場合とでは、グラフからもわかる通り傾きは異なっていることが分かるから
x=0での極限Lim|h|/h（x=0での傾きに相当）が一致しない
つまりグラフはx=0で滑らかにつながってはいない

（微分可能とはグラフが滑らかにつながっていること）

この回答へのお礼

傾きなんですね！ありがとうございます

お礼日時：2020/04/03 08:33

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/02 17:38

lhl が -h になるのは、h < 0 だからです。

絶対値の定義を確認してください。

なぜ h < 0 かというと、lim[h→-0] |h|/h の極限を考えているからです。
lim[h→+0] は h を h > 0 に、lim[h→-0] は h を h < 0 に制限して考えます。
これは、なぜも何も lim[h→-0] がそういう記号だからです。

x が途中で h に変わったのではありません。
微分係数の定義は、関数 f(x) に対して
lim[h→+0]{ f(ｘ+h) - f(x) }/h と lim[h→-0]{ f(ｘ+h) - f(x) }/h の共通の値です。
その値を f’(ｘ) と呼びます。これも、教科書で確認しておきましょう。

写真の例では、f(x) = |x|, x = 0 の場合を考えているので、上記の式をあてはめて
lim[h→+0]{ |h| - 0 }/h と lim[h→-0]{ |h| - 0 }/h に共通の値があるかどうかを
検査することになるのです。　←[1]

グラフで見て右側極限と左側極限が 0 で一致しているように見えるのは、
微分係数ではなく、関数の値 lim[h→+0] |h| = lim[h→-0] |h| = 0 です。　←[2]
[1] と [2] では計算しているものが違うことを確認してください。

この回答へのお礼

わかりました！スッキリしたぁ！笑

お礼日時：2020/04/03 08:33