Vをn次元実ベクトル空間、ΓをVの格子とする。有界部分集合Mでγ∈Γによる平行移動でM+γの全体で全

Vをn次元実ベクトル空間、ΓをVの格子とする。有界部分集合Mでγ∈Γによる平行移動でM+γの全体で全空間Vを覆うようなものが存在するならばΓは完全となることを示します。

V_0をΓで張られる部分空間としてV=V_0となることを示す。

V= ∪(γ∈Γ)(M+γ)と表せて

v∈Vとして任意の自然数nについて

nv=a_n+γ_n
(a_n∈M, γ_n∈Γ⊆V_0)

と書くことができる。


n→∞ならばa_n/n→0で

γ_n/nはV_0が閉部分集合であるからn→∞によって収束する。よってv ∈V_0

となる。

とあるのですが

nv=a_n+γ_n
(a_n∈M, γ_n∈Γ⊆V_0)

と表される理由がわかりません。

またγ_n/nはV_0が閉部分集合であるからn→∞によって収束する。という理由もわかりません、この2点について詳しく証明を教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/05 08:46

まず

＞ nv=a_n+γ_n
＞ (a_n∈M, γ_n∈Γ⊆V_0)
と表される理由ですが、

V が実ベクトル空間、n が実数なので、nv ∈ V であり、
＞ V= ∪(γ∈Γ)(M+γ)
より、任意の V の元は a+g, a∈M, g∈γ と表せるからです。

次に
＞ n→∞ならばa_n/n→0で
＞γ_n/nはV_0が閉部分集合であるからn→∞によって収束する
ですが、

nv=a_n+γ_n を変形して γ_n/n = v - a_n/n なので、
a_n/n→0 が収束するならば lim γ_n/n も収束して γ_n/n → v です。