nPrとnCrの違いを教えてください。

nPrとnCrの違いを教えてください。

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/04/12 11:56

異なるn個のものから、（順番は関係なく）r個取り出す場合の数を計算する方法がnCr

上記で、取り出した後並べる順番まで考えた場合、その方法の総数がnPr(・・・異なるn個のものから、r個取り出して順番に並べる方法がnPr)

なお、計算式は
nPr=n!/(n-r)!・・・意味は　nから1ずつ順番にn-r+1まで小さくなる整数を掛け算したもの(nから小さくなるようにrこの数を並べて掛け算）
nCr=n!/{(n-r)!・r!}・・・意味は、nPrをr!で割り算したもの　（分子はnからｒ個の整数を並べて掛け算、分母はr!)

具体例 10P3なら　n=10,r=3として
nPr=n!/(n-r)!→10P3=10!/(10-3)!=10x9x8x7x6x・・・x1/(7x6x・・・x1)=10x9x8
「意味」に沿って　端的に、　10から3こ整数を並べて掛け算　ということで　10x9x8 と考えると楽！！

10C3なら　n=10,r=3として
nCr=n!/{(n-r)!・r!}→10C3=10!/{(10-3)!・3!}=10x9x8x7x6x5x4x3x2x1/{(7x6x5x4x3x2x1)x(3x2x1)}
=10x9x8/3x2x1
「意味」に沿って　端的に、　
分子は10から3こ整数を並べて掛け算　
分母は3!
ということで　10x9x8/3x2x1
と考えると楽！！

No.3 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2020/04/12 10:28

Pは順列、Cは組合せのことをいいます。

組合せとは、取り出す組の作り方だけを考えます。
１，２，３，４，５，６から３個取り出す場合の数を考えるます。１，２，３を取り出しました。
１番目に３、２番目に１、３番目に２、を取り出したとしても、
１番目に２、２番目に３、３番目に１、を取り出したとしても、
取り出したのは（１，２，３）です。
(1.2.3) = (1,3,2) = (2,1,3) = (2,3,1) = (3,1,2) = (3,2,1) は同じので１通りと数えます。
順番は考えません。３個まとめて取り出したことと同じです。

順列とは、組合せと違って取り出した後の並べ方を考えます。
上の問いだと、
１番目に３、２番目に１、３番目に２、と、
１番目に２、２番目に３、３番目に１、は、
違うものと数えます。
(1.2.3) , (1,3,2) , (2,1,3) , (2,3,1) , (3,1,2) , (3,2,1) の６通りと数えます。
順番に１列に並べる場合の数を数えます。

計算では、順列は６から３個だけ小さくした数をかけます。
６×５×４ 通り
組合せは、順列では取り出した組の並べ方分だけ多く数えてしまったので、重複した組を１つの組と考えて、何組あるかを数えます。
選んだ３個の並べ方は３×２×１通り、３×２×１通りのものを１通りと数えることがわかりましたので、順列で数えた全部の場合の数を１組の中の場合の数で割れば何組あるかわかります。
（６×５×４）/（３×２×１）

組合せは取り出しただけ、順列は取り出したものの順序を問題にするということです。
nPr=nCr×r！

No.2 回答者： groebner 回答日時： 2020/04/12 05:28

n個の中からｒ個を選んだときに

選んだ順番を分類の方法に入れないのが、nCr
選んだ順番も分類の方法に入れるのが、nPr
nPrは並べ方は何通りあるかを考慮し、
nCrは選び方は何通りあるか考慮します。
nCrは順番は問わない。
nPrはr 個のものを一列に並べる並べ方 r! 通り分だけのバリエーション
があります。このため、nPr = (nCr)・(r!) になるのです。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2020/04/12 05:00

10P3=10･9･8

10C3=(10P3)/3!