数学Aです。 7種類の異なる果物がある。これらを組み合わせて最大7個の果物が入ったセットを1つ作りた

数学Aです。

7種類の異なる果物がある。これらを組み合わせて最大7個の果物が入ったセットを1つ作りたい。
何通りのセットができるか。
ただし、最低でも一つの果物は入れることとし、同じ種類の果物を2個以上入れないものとする。

という問題で、私は間違えました。
私の間違えたやり方は、

①果物１つつだけのセットのパターン→7通り
②果物２つのセットのパターン→ 7P2→7×6=42通り
③果物３つのパターン→7P3→7×6×5=210通り
④果物4つ→7P4
⑤果物5つ→7P5
〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜
⑦果物7つ→7！

①+②+③+④+⑤+⑥+⑦=13699通り
13699通りという論外な答えが出てしまいました。

本当の答えは、2^7-1=127通りです。
おそらく、私の考え方は根本から間違っているので、理解できません。
間違っているところ、そしてなぜ間違っているのかを教えていただきたいです。
お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2020/05/19 11:38

あなたの考えは、順列（Pを使ったり、階乗を使ったり）で計算してますが、それだと、

例えば、3つの果物からなるセットを作ったときに、ABCとACBとBACとBCAとCABとCBAを
全て別のものとして数えている（並び順が違うものを別のものと数えている）ことになります。

この問題では、セットを作るのだから、並び順は関係ない（ABCとACBとBACとBCAとCABと
CBAは全て同じもの）ですよね。
なので、順列（並び順）ではなく、組み合わせを考えなければなりません。

なので、PではなくCを使います。

1個のとき　7C1=7
2個のとき　7C2=21
3個のとき　7C3=35
4個のとき　7C4=35
5個のとき　7C5=21
6個のとき　7C6=7
7個のとき　7C7=1

これを全部足して、127通りです。


解答の「2⁷-1」というのは、2項定理を応用していて、

nC0+nC1+nC2+nC3+…+nC(n-1)+nCn=2^n

で、今、n=7で、かつ、nC0=1を数えていないので、2⁷-1となります。

この回答へのお礼

とても理解しやすく説明してくださり、ありがとうございます！

お礼日時：2020/05/19 12:03