x>0のときx/(1+x)<log(1+x)<xが成り立つことを示せ。 この問いの解答教えてください

x>0のときx/(1+x)<log(1+x)<xが成り立つことを示せ。
この問いの解答教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/23 00:14

x = 0 のとき x/(1+x) = log(1+x) = x = 0

であることが手がかりになるかな。

x/(1+x), log(1+x), x のそれぞれの導関数は
1/(1+x)^2, 1/(1+x), 1 ですが、
x > 0 であれば、1+x > 1 より
1/(1+x)^2 < 1/(1+x) < 1 が成り立ちます。

1/(1+t)^2 < 1/(1+t) < 1 を
0 ≦ t ≦ x の範囲で積分すれば、x > 0 のとき
x/(1+x) - 0 < log(1+x) - 0 < x - 0 だと判ります。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2020/05/23 18:12

No.2 回答者： nekomikoreimu 回答日時： 2020/05/23 03:23

y=x-log(1+x)

y=log(1+x)-x/(1+x)
が、それぞれx>0でy>0となる事を示せばいいだけです。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2020/05/23 18:12