数学の質問です。 8+7+6+5+...と一つずつ減らした数字を全て足すにはどのような式を用いれば良

数学の質問です。
8+7+6+5+...と一つずつ減らした数字を全て足すにはどのような式を用いれば良いでしょうか？

No.7 回答者： ななのたか 回答日時： 2020/05/24 13:16

例えば分かりやすい例として、8+7+6+5だったとする。

8+7+6+5

と書いておいて、その下に順番を逆にしたものを並べて書くと

8+7+6+5
5+6+7+8

になる。これは、上下を足すとどれも13になる。因みに、当然ながらこの13は最初と最後を足したもの。

この13を数字の個数の４倍すると、2行の足し算を全部足したことになるので、2重にカウントしている(実際の和の二倍になっている)。


と、言うわけで　(最初の数字＋最後の数字)×数字の個数÷２　が答え。因みにこの式は、数字の間隔が１でなくても、「同じ数」なら常に成り立つ
　例えば、8+5＋2＋…

No.6 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/05/24 10:45

8,7,6,5・・・は初項8公差-1の等差数列なので

an=8+(n-1)･(-1)=-n+9 ですんで
8から１まで減らすなら　１は８から数えて8番目なので
8+7+6+・・・+1=Σ[k=1～8]ak
=Σ[k=1～8](-k+9) です
これで、1+2+3+・・・+7+8という増加する順ではなく
8+7+6+・・・+1というように減少する順の足し算となります

足し算の終わりを、１から他の数字に変える場合は　kに代入する数字の終わりを　8から目的のものに変更すればよいです
仮に-4まで足すとすれば　8,7,6・・・0,-1,-2,-3,-4の-4は13番目なので
8+7+6+・・・+(-3)+(-4)=Σ[k=1～13](-k+9) です

無限にどこまでも足し続けるなら
Σ[k=1～∞](-k+9) です

実際にシグマ計算をして続きの式変形も可能です
例えば
8+7+6+・・・+1=Σ[k=1～8](-k+9)
=-Σ[k=1～8]k＋Σ[k=1～8](9)
=-(1/2)8(8+1)+9x8
=36

無限に足す場合は　例えば　n番目までの和Snをまず求めておいて極限を求めるようにすれば良いです
8+7+6+・・・+an=Σ[k=1～n]ak
=Σ[k=1～n](-k+9)
=-(1/2)n(n+1)+9n

これを用いて
Σ[k=1～∞](-k+9)=Lim(n→∞){-(1/2)n(n+1)+9n}
=Lim(n→∞)n²{-(1/2)(1+1/n)+9/n}
=-∞です（直感でも、どこまでも足すと無限に小さくなってしまうことは明らかですので、計算するまでもなくΣ[k=1～∞](-k+9)=-∞です）

No.5 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2020/05/24 10:08

等差数列の和＝項数×（初項＋末項）/２の公式を用いて

自然数の範囲なら、1+2+3+4+5+6+7+8と同じだから、
初項1、末項8、項数8の等差数列の和で
S=8(8+1)/2=36
整数の範囲なら、8～-8までの和は相殺されて0だから、(-9)+(-10)+(-11)・・・+(-(n-2))+(-(n-1))+(-n)
初項-9、末項-n、項数n-8の等差数列の和で
S=(n-8)(-9-n)/2
S=-(n-8)(n+9)/2　または　S=(8-n)(n+9)/2

No.4 回答者： konjii 回答日時： 2020/05/24 09:46

8+7+6+5+...+0+(-1)+...＋（-(ｎ-1))+(-n)=S

(-n)+(-(ｎ-1))+...(-1)+0+...+5+6+7+8=S
(8-n)+(8-n)+(8-n)+...=2s
2S=(8-n)(n+9)
s=(8-n)(n+9)/2

No.3 回答者： 夢仙人 回答日時： 2020/05/24 09:31

∑記号の表現ですか。

この場合、8から始まって１で終わるのですか。

ならば、下のような形かな。答えはNO１の方のやり方でもいいでしょう。

No.2 回答者： groebner 回答日時： 2020/05/24 09:31

n+n-1+・・・3+2+1

と
1+2+3+・・・+n-1+n
は逆に足しても同じ値になる。　
式はn(n+1)/2
n=8のときは
8×9/2=36　←答え

なぜn(n+1)/2なのか？
1+2+3+・・・+n-1+n
（左端＋右端）+（左端から2番目＋右端から二番目）+・・・
と端同士を足していくと
=(1+n)+(2+n-1)+・・・
全体の個数はn/2個なので
n(n+1)/2

No.1 回答者： daaa- 回答日時： 2020/05/24 09:16

（８＋１）×８÷２