群数列の問題がわかりません。自然数nがn個続く数列{Cn} 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4

Question

群数列の問題がわかりません。

自然数nがn個続く数列{Cn}

1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5 ・・・・

において、

(1) C50 を求めよ

↑この答えは10なのですが

C50が第n群に属しているとして

1＋2＋…＋n−1＜50 ≦  1＋2＋…＋nより
n＝10と出すのは知っているのですが、

C50＝10 の意味がわかりません。

自然数nがn個ずつ続く数列なので、n＝50にしたら
nが50個続く群を指すのではないのですか？それは第50群ではないのですか？

要はC50が何を指すのかがわかりません。

(2)同様の数列で

ΣCk (k＝1から50まで) を求めよ

これも(1)がわからないので解けません。

計算せずに考え方や指針だけでも良いので、

どなたか教えて頂けると嬉しいです。

ゼロプライム · Accepted Answer

ちょっと勘違いしているだけで、大部分は理解できていると思います。

「C50が第n群に属しているとして
1＋2＋…＋n−1＜50 ≦ 1＋2＋…＋nより
n＝10と出すのは知っている」

「自然数nがn個ずつ続く数列なので、n＝50にしたら
nが50個続く群を指すのではないのですか？それは第50群ではないのですか？」

どちらも間違っていません。正しいです。
n=10 なので、10が10個続く群で、第10群です。
C50は第50項目を指していて、第10群に属しているので、C50＝10です。

ΣCk (k＝1から50まで) は、第1項から第50項までの和です。
ところで、この群数列は、第ｎ群は、ｎがｎ個続く数列です。
よって、第ｎ群のｎ個の項の和は、ｎ×ｎ＝ｎ²です。
したがって、第1項から第50項までの和を求める時に、１つ１つ項の和を求めるのではなく、群ごとの
和を求めてから、各群の和を求めると簡単です。

第50項は第10群ですから、第９群まではすべての項が含まれています。
よって、第9群までの項の和は、
Σk² (k＝1から９まで) =9(9+1)(2・9+1)/6=(9・10・19)/6=285
です。[ 公式　Σk² (k＝1からｎまで) =n(n+1)(2n+1)/6 を利用 ]

第10群については、第50項が第10群の何番目の項であるかが分かれば、その項までの和を求められます。
第９群までの項数は、
1+2+3+…+9=45
よって、第50項は、第10群の5番目の項であることが分かります。
よって、第10群の5個の項の和は、10×５＝50　です。

したがって、
ΣCk (k＝1から50まで)=285+50=335
です。

ありものがたり · Answer

＞数列を表すもの( {an}{bn}{Cn} )などのnは、
＞必ず⚪︎番目かを意味するということですか？

そうでもないですが、関数を f(x) と書くときの x と同じようなもんで
数列の添字は n を使うことが多いですね。 k とか i とかもよく使うけど。

＞今回の問題の『自然数nがn個続く〜』のnと
＞数列{Cn}のnで同じnを使っていたので少し混乱したのですが、
＞この２つのnは違うものと考えても差し支えないでしょうか？

違うものです。 だから、No.2 では数列 Cn の添字を n、
この数列を区切った第 k 群の群番号を k と書いてみました。
気づきましたか？

ゼロプライム · Answer

No.3です。
自然数nがn個続く数列{Cn}
気がつきませんでしたが、これは問題が悪かったです。
この２つのnは違うものです。
数列{Cm} が正しいです。

ありものがたり · Answer

＞ 1＋2＋…＋n−1＜50 ≦ 1＋2＋…＋nより
＞ n＝10と出すのは知っているのですが、
＞ C50＝10 の意味がわかりません。

意味がわからないというか支離滅裂なことを言っているなと思ったら、

＞ 要はC50が何を指すのかがわかりません。

というこことなのですね。 それなら簡単、本文に

＞ 自然数nがn個続く数列{Cn}
＞ 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5 ・・・・
＞ において、

と書いてあります。
C1 = 1,
C2 = 2,
C3 = 2,
C4 = 3,
C5 = 3,
C6 = 3,
C7 = 4,
C8 = 4,
C9 = 4,
C10 = 4,
C11 = 5,
・・・
という数列が { Cn } だということです。

第 n 項が Cn であるような数列 { Cn } の項のうち
Cn = k であるような部分列を、この数列の「第 k 群」とすると
第 k 群は k 個の項からなるという話ですね。

第 k 群の最後の項が { Cn } の第 n = 1 + 2 + 3 + ... + k 項
になるので、あなたが解ったとおり、Cn が第 k 群に含まれる条件は
1 + 2 + ... + (k-1) < n ≦ 1 + 2 + ... + k です。

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

そこから先は、つまらない計算ですが...

(1)は、1 + 2 + ... + (n-1) < 50 ≦ 1 + 2 + ... + n を解いて
n(n-1)/2 < 50 ≦ (n+1)n/2 より (-1 + √401)/2 ≦ n < (1 + √401)/2.
この範囲の自然数 n は、 n = 10 です。

C50 が第 10 群に含まれ、
第 9 群の最後の項が { Cn } の第 1 + 2 + ... + 9 = 45 項なので、
C50 は第 10 群の中の 50 - 45 = 5 番目の項です。
第 k 群の項の合計は値が k の項が k 個で k^2 なので、
(2)は、Σ[nが1から50まで]Cn = Σ[kが1から9まで](第 k 群の合計) + Σ[nが46から50まで]Cn
= Σ[kが1から9まで]k^2 + (10が5個)
= 9・10・(2・10+1)/6 + 10・5
= 365.

ここで使った Σ[kが1からｎまで]k^2 = n(n+1)(2n+1)/6 は、教科書にも載っている公式です。

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

その答えを競うより どうやったか 何を考えたか
それが一番 大切なんだ
さあ 心のままに

masterkoto · Answer

(1)
 そもそも、自然数nがn個続く数列{Cn}

1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5 ・・・・
とは 群を意識することなしに
初項C1=1
2項目C2=2
3項目C3=2
C4=3
C5=3
・
・
・
C11=5
という数列なのです
例えば　a1=1,a2=2,a3=3・・・という自然数の等差数列{an}と同じ意味です。この場合50項は、a50=50ですよね！
したがって、C50=10とは、この数列｛Cn}の50項目が10であるという意味です

しかしながら、数列{Cn}を正面から相手して50項を求めることは難しいでしょう
そこで郡（グループ分け）を導入するのです
1グループ（1郡）・・・C1(1)
2グループ・・・C2,C3(2,2)
3グループ・・・C4,C5,C6(3,3,3)
というようにう
すると、C50は第10グループ（10グループは数字１０の集まったグループ）の中にあるということは分かりやすいので、
これを利用して50項目＝１０を導き出せるということです

ちなみに、1＋2＋…＋n−1＜50 ≦ 1＋2＋…＋n　の意味は　
第nグループにC50が含まれるとして
１グループにはC1　1個
2グループには　C2,C2 の2個
n-1グループには　n-1個の数字
nグループには　nこの数字が所属しているので
C50の位置は、数列Cnの（1＋2＋…＋n−1）番目よりは大きく、
(1＋2＋…＋n)番目と同じかそれより小さいということを表した不等式ですよね

（２）
Σ記号の意味　kに１から50まで順次入れたものを並べ、＋記号で結ぶ　ということに沿って
ΣCk (k＝1から50まで) =C1+C2+C3+・・・+C50
=1+2+2+・・・9+9+9+9+9+9+9+9+9+10+10+・・・C50(10) を求めよということです
1+2+2+・・・9+9+9+9+9+9+9+9+9までの部分と　10+10+・・・C50(10)の部分を分割すると良さそうです

1+2+2+・・・9+9+9+9+9+9+9+9+9は、正面から計算するもよし
Σ記号に意味より
1+2+2+・・・9+9+9+9+9+9+9+9+9=1x1+2x2+3x3+・・・9x9=Σ[k=1～9]k²だから　
Σ公式：Σ[k=1～n]k²=(1/6)n(n+1)(2n+1)を用いて n=9を代入して計算するも良しです
1+2+2+・・・9+9+9+9+9+9+9+9+9=(1/6)x9x(9+1)x(2xn+1)

10+10+・・・＋C50については　C50が10グループの何番目かを調べればすぐにわかりそうです
１＋２＋３＋・・・+9=45ですから　1グループから9グループまでに所属する数字は全部で45こ（45項）あるとわかります
ということは、10グループの1番目は46項(C46)です　C50はC46から数えて　50-46+1=5番目にありますから
10+10+・・・＋C50＝１０ｘ５＝５０であることが分かります

群数列の問題がわかりません。 自然数nがn個続く数列{Cn} 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4

ちょっと勘違いしているだけで、大部分は理解できていると思います。

＞数列を表すもの( {an}{bn}{Cn} )などのnは、

No.3です。

＞ 1＋2＋…＋n−1＜50 ≦ 1＋2＋…＋nより

(1)

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