高校数学の質問なのですが、1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,,といったkがk(=1,2,3,4

高校数学の質問なのですが、1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,,といったkがk(=1,2,3,4,,,)個続く数列があり、この数列の第n項をanとする。an=kとなるようなnの範囲をkを用いて表せと言う問題がありました。これの答えが1/2n(n-1)<n<=1/2n(n+1)というものです。範囲がこうなるのは理解できますが、なぜ最初の不等号にイコールがつかず最後の等号にイコールがつくのでしょうか？別に最初とanが同じこともあり得るくないですか？単に最初と最後が同時にanになるわけはないから片方にイコールをつけているという感じでどちらかにつければ良いのでしょうか？
教えてください。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/13 17:27

いわゆる「群数列」っていう過去問パターンですね。

(笑

問題の an は、第 k 群の項の値が k となるような群数列です。
群数列では、各群の項数に注目して、第 k 群初項の n を求める
のが、「パターン」なのでした。 やってみましょう。

この問題では、第 k 群の項数が k なので、
第 1 群から第 k-1 群までの項数の和は
Sk = Σ[j=1...k-1] j = k(k-1)/2 です。
第 k 群初項は a( ) の第 Sk + 1 項から Sk + (k-1) 項 すなわち
n = k(k-1)/2 + 1, k(k-1)/2 + 2, ..., k(k-1)/2 + (k-1) に対して
an = k になります。

これを、
(1/2)k(k-1) < n <= (1/2)k(k+1) と書くか
(1/2)k(k-1) + 1 <= n <= (1/2)k(k+1) と書くか
(1/2)k(k-1) + 1 <= n < (1/2)k(k+1) + 1 と書くかは、
単なる趣味の問題で、どーでもいい話です。
好きな書き方を選んだらいい。

No.3 回答者： AっKI 回答日時： 2024/08/13 16:48

実験していますか？

疑問に思うなら実験してみることです。
k=4を代入してみてください。
6<n<=10
になる。
実際の数列を見ると、４になっているのは
『第7項から第10項』
正しく表されているでしょう？
6<nのほうには等号が入ってはいけないし
n<=10のほうは等号がないのは不正解。

an=kとなるnの最大値は1からkまでの自然数の和
だから1/2・k(k+1)になっている。等号も含まれる。

最小値は1からk-1までの和+1なので
1/2・(k-1)k+1であり、これなら等号が入れられる。
これを+1を省略して簡潔に考えようと
『an=k-1までの項の数が1/2・(k-1)kで、
an=kになるのは「その次の項から」だから
（nは自然数であることに注意）
1/2・(k-1)k＜nと表した』というのが
その模範解答になる。だから等号は含まれない。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/13 16:48

kを用いて表せというのだから1/2n(n-1)<n<=1/2n(n+1)は間違いです正しくは

k(k-1)/2<n≦k(k+1)/2

「=」をつけたいのであれば

1+k(k-1)/2≦n≦k(k+1)/2

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/13 16:44

kを用いて表せというのだから1/2n(n-1)<n<=1/2n(n+1)は間違いです正しくは

k(k-1)/2<n≦k(k+1)/2