π^x-e^x-x+1>0を示したいが極値を具体的に表せなく、どうしてもうまくいきません

円周率と自然対数の底に関して、
π^x-e^x-x+1>0を示したいのですが、
極値をとるｘ座標を具体的に表せなく、また、文字で置いたとしてもうまくいかなくて困っています。

どうか示し方を教えていただけないでしょうか。

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/05/30 00:08

たびたび、修正します。

x≦0　のときは、面倒なことをしなくても
π^x>0 , -x≧0 , e^x≦1 なので

π^x-e^x-x+1>-e^x+1≧0
でした。トホホ

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/05/29 09:59

0<x≦1 , 1≦x≦2　で分ける必要はなかった。

0<x≦2 でよかった。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/05/29 09:11

x≦0 , 0<x≦1 , 1≦x≦2 , 2≦x　の4区間に分けて考える。

f=π^x-e^x , g=x-1 とおくと、f-g>0 を示せば良いが、極値などの計算が困難なので間接的に
評価する。

1.　x≦0 のとき

すると π^x≦e^x≦1 である。f≦0 は自明。f=π^x-e^x≧-e^x≧-1 だから、-1≦f≦0、つまり、
gは有界。また、f(-∞)=f(0)=0 である。すると、十分大きな M>0 について、閉区間[-M,0]で
fは有界だから、fは最小最大値がをもつ。最大値は勿論、f(0)=0 である。

fは微分可能だから、最小値は、f'=0 の点と一致する。すると
f'=(logπ)π^x-e^x=0 → x=log(logπ)/(1-logπ)≒-0.934
となる。f'=0 は一つしか無いので、この時の xが fの最小値となる。それは
f(-0.934)≒0.343-0.393≒-0.05 (>-1)

ところが、g=x-1≦-1 だから、f-g>-1-(-1)=0 となる。

2.　0<x のとき

logπ≒1.14 (>1)だから、x>0 で
f''=(logπ)²π^x-e^x>π^x-e^x>0 なので、テーラー展開から
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(c)(x-a)²>f(a)+f'(a)(x-a)・・・・・①
をえる。


3.　0<x≦1 のとき

f'=(logπ)π^x-e^x だから、①で a=0 として、 (logπ-2)<0 , x≦1 なので
f(x)>0+(logπ-1)x
f-g>(logπ-1)x-x+1≧1+(logπ-2)・1=logπ-1>0

4.　1≦x≦2 のとき

同様に、①で a=1 として、{(logπ)π-e-1}<0 , x≦2 なので
f>π-e+{(logπ)π-e}x
f-g>π-e+{(logπ)π-e}x-x+1≧π-e+1+{(logπ)π-e-1}・2=π-3e-1+2(logπ)π>0

5.　2≦x のとき

同様に、①で a=2 として、{(logπ)π²-e²-1}>0 , x≧2 なので
f>π²-e²+{(logπ)π²-e²}x
f-g>π²-e²+{(logπ)π²-e²}x-x+1≧π²-e²+1+{(logπ)π²-e²-1}・2>0

6.

以上のことから、すべての区間で
f-g>0
となる。