A 回答 (10件)
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No.10
- 回答日時:
siegmund です.
この方程式の解は無数にあります.
解の分布は,(-π/2,π/2) の範囲に1個,
この範囲をπだけ正負に次々シフトしていった領域に1個ずつです.
この種の方程式の解の様子を調べるには,元の方程式を
(1) tan αc (2 + cos^2 αc) = 3(αc + 0.12π)
と変形して
(2) f(x) = tan x (2 + cos^2 x)
(3) g(x) = 3(x + 0.12π)
のグラフを考えるのが常套手段です.
y = f(x) と y = g(x) のグラフの交点が元の方程式の解を与えます.
y = f(x) のグラフは,大体 y = tan x のグラフと似た形で,
-π/2 と π/2 の様子が繰り返されます(三角関数の周期性).
一方,y = g(x) のグラフは直線ですね.
(1)の傾きやら曲率などをちょっと考えますと,
最初に書いた解の分布の結論を導くことができます.
一番わかりやすいのは,適当なソフトで(2)(3)のグラフを図示することです.
ただし,tan x の存在のために,x = ±π2,±(3/2)π,(5/2)π±,...
では f(x) の値が ±∞ になりますので,描画範囲にご注意下さい.
ここで,図が示せないのが残念ですね.
KOBAP さんは「土木の設計者です」ということでしたら,
αc の範囲に
-π < αc < π,あるいは 0 < αc < 2π,というような
制限があるのでしょうか?
αc = 0 付近の解を数値計算すると以下のようです.
単位はラジアンです.
(-(5/2)π,-(3/2)π)の解 αc = -7.76361
(-(3/2)π,-(1/2)π)の解 αc = -4.55206
(-(1/2)π, (1/2)π)の解 αc = 1.11514
( (1/2)π, (3/2)π)の解 αc = 4.57744
( (3/2)π, (5/2)π)の解 αc = 7.77208
1.115 は既に guiter さんが示しておられます.
αc = 0 から離れるにつれて,解は ±[(奇数)/2]π に近づきます.
7.77208 = 2.4739π で,もう(5/2)πにかなり近くなっています.
No.9
- 回答日時:
siegmund です.
> くやしいですが、プログラムで求める考え方しかないことがわかりました。
解析的に解が表現できないことと表裏一体ですね.
> αc は、ラジアンでも度でもかまいません
が大変気になります.
方程式にαcが生で出てきていますので,ラジアンと度では全く話が違ってしまいます.
三角関数の中にのみαcが現れるのなら,別に構いませんが.
簡単な例を挙げましょう.
(1) sin x = 1/2
x = 30゜ あるいは x = π/6
どちらでも同じことです.これは後者に対応.
なお,実は解が無数にありますがその話はおいときます.
(2) sin x = (2/π)x
x がラジアンなら,x = 0,π/2 が解(視察でわかる).
x が度なら,解は x = 0 しかありません.
x = 90゜が解になっていないことを確認してください.
αcがラジアン単位なのか,度単位なのか,明確にする必要があります.
No.8
- 回答日時:
No.7の補足です。
最も近いと言ったのは嘘です。もっとαcを近似することはできます。
ただ、これ以上細かくしても意味が無いと思ったのでやめただけです。
誤解を招く表現を使って申し訳ありません。
右辺が具体化されても数学的根拠をもってαcを出す方法を私は知らないのでこの方法をとりました。
お役に立てずに申し訳ありませんm(__)m
No.7
- 回答日時:
暇なのでやってみました。
表計算ソフトに(プログラムを作らずに)適当に入れてみました。まず、0.36π=1.13097335529233なので、これに最も近い数を探して見ました。
小数第n位までの数で、0.36πを超えない最大の数と、0.36πを超える最小の数を並べて見ます。
左から度→→左辺の計算結果→→右辺との誤差です。
60 →→ 0.75552166344018 →→ -0.375451691852146
63 →→ 1.03105722192849 →→ -0.0999161333638343
64 →→ 1.14358089613284 →→ 0.0126075408405144
63.8 →→ 1.12012132749826 →→ -0.0108520277940622
63.9 →→ 1.13178926435812 →→ 0.000815909065795095
63.88 →→ 1.12944582924177 →→ -0.00152752605055828
63.89 →→ 1.13061692908239 →→ -0.000356426209938698
63.893 →→ 1.13096849987643 →→ -4.855415895344E-006
63.894 →→ 1.13108571485678 →→ 0.000112359564457654
63.893 →→ 1.13096849987643 →→ -4.855415895344E-006
63.8931 →→ 1.13098022081829 →→ 6.86552596707024E-006
63.89304 →→ 1.13097318823834 →→ -1.67053981536824E-007
63.89305 →→ 1.13097436033191 →→ 1.0050395864436E-006
63.893041 →→ 1.13097330544765 →→ -4.9844679717026E-008
63.893042 →→ 1.13097342265696 →→ 6.73646336490918E-008
63.8930414 →→ 1.13097335233137 →→ -2.96095570284649E-009
63.8930415 →→ 1.1309733640523 →→ 8.7599760778545E-009
63.89304142 →→ 1.13097335467556 →→ -6.16769080252766E-010
63.89304143 →→ 1.13097335584765 →→ 5.55323564910282E-010
63.893041425 →→ 1.1309733552616 →→ -3.07223135820323E-011
63.893041426 →→ 1.13097335537881 →→ 8.64879279305342E-011
63.8930414252 →→ 1.13097335528505 →→ -7.28062055088685E-012
63.8930414253 →→ 1.13097335529677 →→ 4.4406700538957E-012
誤差が正で、末尾がE-012のときは、小数第11位まで同じだよ、という意味で捕らえてください。(誤差が負の値のときは小数第10位まで同じ)
解に最も近いαcの値は63.8930414253°(約1.115rad)です。
解はこれだけではないと思いますし、数学的根拠もまったくなくて申し訳ないですが・・。
ご苦労さまです。
くやしいですが、プログラムで求める考え方しかないことがわかりました。
ありがとうございました。
また、何かありましたらよろしくお願いします。
ちなみに私、数学があまり得意でない土木の設計者です。
No.6
- 回答日時:
αc=1.115[rad]
くらいになったのですが、
あとは必要に応じて有効数字を考えて下さい。
この回答への補足
EXELの関数等で式をいれて
左辺と右辺が等しくなるようにαcの数値をトライアルで入れて探すことは、私でもできます。
αc=(ここの算定式が知りたいのです。)=1.115[rad]
すごくわがままかな注文かもしれませんが
よろしくお願いします。
No.5
- 回答日時:
siegmund です.
guiter さん,適切な補足ありがとうございます.
KOBAP さん,nとpの数値がわかっているなら,
αc を数値的にもとめるのはいくらでも手段があります.
具体的に書かれた方がよいでしょう.
この回答への補足
tanαc・( 2+cos^2 αc )-3αc=3πnp
tanαc・( 2+cos^2 αc )-3αc=3×3.14×15×0.008
tanαc・( 2+cos^2 αc )-3αc=1.13
or
tanαc・( 2+cos^2 αc )-3αc=0.36π
αc=?
αc は、ラジアンでも度でもかまいません。
よろしくお願いします。
No.3
- 回答日時:
rei00 です。
KOBAP さん,すみません。私,なぜか,生の αc を見落としていました(お恥ずかしい)。申し訳ありません,先の回答は無視して下さい。
siegmund さん,訂正ありがとうございます。ずいぶん簡単な質問なので,変だなとは思い,何回か見直したのですが,何故か 生の αc は目に入ってきませんでした。本当にお恥ずかしい・・・・どっかに穴無いでしょうか。
No.1
- 回答日時:
私には「αc=・・・・の式に変換」はできませんが,方針だけ回答します。
tanαc を cosαc で表すか,逆に, cosαc を tanαc で表します(三角関数の公式があったはずです)。
後は,tanαc または cosαc の方程式になりますから解いて,tanαc または cosαc を求めます。
得られた結果に tanαc または cosαc の逆関数を適用すれば,αc=・・・・の式に変換できるはずです。
いかがでしょうか。あっていると思いますが,違っていたらお許し下さい。
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