複素関数論

実軸の❘ｘ❘≦１の部分を除いた領域Ｆを❘ｗ❘＜１の領域へ写す写像を求める。
①ｚ１＝(ｚ＋１)/(z-1)はＦを実軸のｘ≦０の部分を除いた領域Ｇへ写す。

②ｚ２＝√ｚは主値を実部が正のほうに選ぶことで、１価解析関数となり、ｘ＞０を満たす領域Ｈへ写す
③ｗ＝(ｚ２－１)/(z2+1)はＨをｗ❘＜１へ写す。
①～③の途中の変数を消去して、
ｚ＝1/2(w+1/w)∴ｗ＝ｚ－√ｚ＾２－１★を得る。
平方根の符号は（ｚ－√ｚ＾２－１）（ｚ＋√ｚ＾２－１）＝１より条件❘ｗ❘＜１より一意的に定まる。＋のほうを選べば、❘ｗ❘＞１へ移る。
とあるのですが、もともと②の段階で２価関数の枝を選ぶことで１価にしますが、それでも±のうちーを選ばなくてはいけないとはどういうことなのでしょうか？そもそも、複素数の平方根√ｚは２乗してｚになるものという意味で、★の２次方程式を解く際も±√ｚ＾２－１と書く必要はなく、ｚ＾２－１が実数の場合も正と負両方の平方根を表すから√ｚ＾２－１と書けば十分だと思うのですが。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/05/31 10:08

②の段階で2価関数の枝を選ぶことで1価にしたとしても

①～③の途中の変数を消去して、
z=(1/2)(w+1/w)
としてしまったので

②の段階で2価関数の枝を選ぶことで1価にした
手続きも消去されたのです

だから

w=z+√(z^2-1)
と
w=z-√(z^2-1)
の
どちらかを選ばなくてはいけないのです

そもそも
|w|<1の領域へ写す写像を求めているのだから

例えば

z=2の時

w=z+√(z^2-1)
の時
|w|=|z+√(z^2-1)|=|2+√3|>1

w=z-√(z^2-1)
の時
|w|=|z-√(z^2-1)|=|2-√3|<1

だから

z=2の時は
w=z-√(z^2-1)
を選ばなくてはいけないのです

この回答へのお礼

納得しました。ありがとうございます

お礼日時：2020/06/01 15:08