ドップラー効果の式について ドップラー効果の公式は観測者や音源の速度が等速でない場合にも成り立つので

ドップラー効果の式について
ドップラー効果の公式は観測者や音源の速度が等速でない場合にも成り立つのでしょうか？
自分でも証明をしてみようと奮闘しているのですがあまり上手く行きません。
というのも途中でどうしても波の基本式(v=fλ)を持ち出さねばならずこの式は周期Tの定義上瞬間値では考えにくく行き詰まってしまいます。
どうにか導出できませんかね？
各瞬間各瞬間においてドップラー効果を考えれば良いというのも分かるのですがそれを定量的に導出しないとあまり納得は行きません。

知恵をお貸しください。よろしくお願いします。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/06/07 23:55

差本的な形は変わりません。

観測者の速度をμ、音源の速度をv
音速をVとすると
f′=f・(V-u)/(V-v)

但し、f′、u、vは時間と共に変わるので

f′(t)=f・(V-u(t))/(V-v(t-T))

Tは音源から発した音が観測者まで届く時間で
音源と観測者の位置関係で時間と共に変化します。
これを求めるのはけっこう厄介です(^-^;

この回答へのお礼

やはり難しいですかね。
観測者が動く場合と音源が動く場合の別々の場合では導くことが出来たのですがそこから詰まってしまいました。

お礼日時：2020/06/09 12:44

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/06/07 22:35

No.1 です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞音源のだす山の数と観測者が観測する山の数が等しいということを用いれば

いいえ。等しかったらドップラー効果になりません。

音源が運動すれば、「波長」が変わります。
観測者が運動すれば、「振動数」が変わります。

音源が動いても「空気の振動」は静止した空気の上を伝わりますが、観測者が動けば「静止した空気の上の波」を横切っていくことになります。

下記のサイトが分かりやすいと思うので、眺めてみてください。
等速でない場合には、その「変わり方」が時間変化するということかと思います。

↓
http://www.wakariyasui.sakura.ne.jp/p/wave/dopp/ …
http://www.wakariyasui.sakura.ne.jp/p/wave/dopp/ …

この回答へのお礼

返信ありがとうございます。
出した山の数と受け取る山の数が等しいというのはよくやる手法だと思うのですがおそらく勘違いしているかと。
振動数や波長が異なっても全ての山の数は変わらないはずです。音を出す時間と観測する時間も異なりますのでfΔt=f'Δt'という式を立てます。

お礼日時：2020/06/09 12:42

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/06/07 15:24

＞というのも途中でどうしても波の基本式(v=fλ)を持ち出さねばならず

はい。これは「空気を伝わる音波」の式なので、あくまで「空気」の上で成り立つものです。
空気中を伝わる音波は、温度が一定で空気が静止していれば「等速」です。

その空気に対して運動している「音源」や「観測者」には関係ありません。

この回答へのお礼

返信ありがとうございます。
申し訳ありませんが回答者様の言っていることがよく分かりません。
音源のだす山の数と観測者が観測する山の数が等しいということを用いれば観測者が動く場合と音源が動く場合のそれぞれでは導出することが出来ますがそれらをひとつにまとめる時点で不都合が生じてしまいます。
やはり不可能ということでしょうか？

お礼日時：2020/06/07 20:45