1-u^2/u(1+u^2)の不定積分を求めたいのですがやり方が分かりません。解法の糸口を教えていた

1-u^2/u(1+u^2)の不定積分を求めたいのですがやり方が分かりません。解法の糸口を教えていただけませんか？

No.2 ベストアンサー 回答者： I_am_a_average_man 回答日時： 2020/06/10 23:57

とりあえず基本に忠実に部分分数分解してみましょうか。

1-u^2/u(1+u^2)の表記だと分子が分かりにくいのですが、(1-u^2)/{u(1+u^2)}であれば、
(A/u)+{(Bu+C)/(1+u^2)}=(1-u^2)/{u(1+u^2)}と置いてあげて恒等式を解くと
左辺は{(A+B)u^2+Cu+A}/{u(1+u^2)}となり、分子同士が等しくなれば良いので、
(A+B)u^2+Cu+A=1-u^2となるようにA、B、Cを定めると、A=1、B=-2となります。

よって、(1/u)-{2u/(1+u^2)}と部分分数分解できるわけです。

ここまでくれば後は積分するだけですね。

この回答へのお礼

1番求めていた形で教えてくださったのでベストアンサーにしました！ありがとうございます！

お礼日時：2020/06/11 15:04

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/11 00:31

u^2/( u(1+u^2) ) = u/(1 + u^2)

より、
∫{ 1 - u^2/( u(1+u^2) ) }du = ∫du + (1/2)∫{ 2u/(1 + u^2) }du
= u + (1/2)log(1 + u^2) + (定数).

No.3 回答者： I_am_a_average_man 回答日時： 2020/06/10 23:58

すみません。

Cの値を書き忘れました。C=0です。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/06/10 23:50

(1 - u^2)/(u(1 + u^2))で良い？

その前提で、

∫(1 - u^2)/(u(1 + u^2)) du
=∫ (1/u) - (2u/(1 +u^2)) du
=∫ (1/u) du - ∫ (2u/(1 +u^2)) du

t=1+u^2とすると、
dt=2u du

=∫ (1/u) du - ∫ (1/2t) dt
=log|u| - (1/2)log|2t| + C0
=log|u| - (1/2)log|2(1+u^2)| + C0
=log|u| -(1/2)(log2 + log|1 +u^2| +C0
=-log2^(1/2) + log|u| - log|1 +u^2|^(1/2) + C0
=-log(1/√2) + log|u/√(1 + u^2)| + C0
=log|u/√(1 + u^2)| + C（C=C0-log(1/√2))

∫(1 - u^2)/(u(1 + u^2)) du=log|u/√(1 + u^2)| + C
（C：積分定数）