関数f(x)=x^1/3のx=8まわりで2次近似多項式(テイラー展開)を求めよ。さらにこの近似値によ

関数f(x)=x^1/3のx=8まわりで2次近似多項式(テイラー展開)を求めよ。さらにこの近似値によってf(9)=9^1/3の近似値を求めると、誤差が1/1000未満になることを示せ。(ただし電卓は使わないこと)

テイラー展開はできたのですが、電卓を使わずに誤差を示す方法が分からず困っています。詳しい方、教えて頂けませんか？

No.1 回答者： springside 回答日時： 2020/06/14 17:25

誤差を示すためには、正確な値が必要で、それは別途調べるか電卓を使わないと無理。

9^(1/3)≒2.0800838ですが。

つまり、電卓を使うなというのは、展開式にx=9を代入して計算するときに電卓を使うなということなのでしょう。

f(x)=2+(x-8)/12-(x-8)²/288+o(x-8)³なので、x=9を代入して、
f(9)≒2+(1/12)-(1/288)　（←この分数の計算は筆算でできるでしょう）
=2.0868…
であるから、誤差は、2.0868...-2.0800=0.0068...
あれ？　誤差が6/1000以上になってしまいましたね。（？）

No.2 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2020/06/14 17:32

No.1です。

訂正です。計算ミスしてました。

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誤差を示すためには、正確な値が必要で、それは別途調べるか電卓を使わないと無理。
9^(1/3)≒2.0800838ですが。

つまり、電卓を使うなというのは、展開式にx=9を代入して計算するときに電卓を使うなということなのでしょう。

f(x)=2+(x-8)/12-(x-8)²/288+o(x-8)³なので、x=9を代入して、
f(9)≒2+(1/12)-(1/288)　（←この分数の計算は筆算でできるでしょう）
=2.0798…
であるから、誤差は、|2.0798...-2.0800|=0.0002...
よって、誤差は1/1000未満である。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2020/06/14 18:27