確率の期待値について

確率変数の分散の期待値について質問させてください。

ある確率変数x'は正規分布(μ,σ^2)に従う。
ここで、
x'-μをN+1個の確率変数(x1,x2....xn,x')
と考えるとこの平均と分散は

平均
μ{1/N + ・・・・+1/N +(-1)} = 0
分散
σ^2{1/N^2 + ・・・・+1/N^2 +(-1)^2} = (N+1)/N * σ^2

らしいのですが、この途中式の変換がわかりません。
不変分散が母分散を表しているのは正規分布の再生性あたりを調べて理解できたと思うのですが、
平均・分散ともに左式はどのような式変形の過程で生まれているのでしょうか？

よろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• 

  ありがとうございます。
  ここではμがx1からxnまでの平均であるとしているのだと思います。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/06/20 23:30

• 

  ありがとうございます。
  該当書籍は
  入門機械学習による異常検知
  p29 一次元正規変数の一次結合
  です。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/06/21 15:24

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/06/18 19:38

「x'-μをN+1個の確率変数(x1,x2....xn,x')と考える」というのがどういうことなのかさっぱりわかりません. x1

て出てきたんでしょうか.

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/06/20 23:39

なんにもわからん.

「x'-μをN+1個の確率変数(x1,x2....xn,x')と考える」って, 「x'-μ」の中にまた「x'」があるよね. その「x'」はどうするの? また「N+1個の確率変数」とでも考えるの? そうやって無限に考えろってこと?

x1 とかがなんなのかもまったくわからんし.

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2020/06/21 01:43

企業で統計を推進する立場にある者です。

σ^2（不偏分散）に（N+1）を掛けてNで割り直しているんだから、旧JISで言うところの標本分散を求めていると推察されます。

でも、ご質問者が読まれた解説の執筆者は、#2さんがご指摘のとおり、自由度の議論を＋１個とかに置き換えようとしていて、全く意味不明です。

出典の書籍名を書かれてはいかがですか。

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2020/06/26 17:36

#3です。

これは、相当前のページにある、異常度a(x')・・・(2.6)式の証明にかかわる部分であり、さらに厳密な証明は付録にあると書いていますよね。
付録を読んだ方が良いのでは。