Rを環として、f,gをRの自己準同型写像とするとき、 f+gおよびf◦gはともにRの自己準同型写像で

Rを環として、f,gをRの自己準同型写像とするとき、
f+gおよびf◦gはともにRの自己準同型写像である

この証明を教えてください
特に、(f+g)(xy)={(f+g)(x)}{(f+g)(y)}が成り立つ証明を教えてください

No.1 ベストアンサー 回答者： kkaogue 回答日時： 2020/06/22 13:35

f+gは環の自己準同型ではありません。

実際、Rを整数全体、f,gを共に恒等写像とすると、
x=2,y=3のとき、
(f+g)(2×3)=f(6)+g(6)
=6+6=12
{(f+g)(2)}{(f+g)(3)}={f(2)+g(2)}{f(3)+g(3)}
=(2+2)(3+3)=4×6=24
となり環の自己準同型になりません。
f◦gの方は環の自己準同型になります。
f+g,f◦gがともに自己準同型になるのはRが環ではなく群である時です。

この回答へのお礼

ありがとうございます！！

お礼日時：2020/06/22 18:53