105減算について,概観できるような説明をお願い致します。簡単でおもしろい例題などがある本やURLなどを教えて頂くことも大歓迎です。

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A 回答 (2件)

遅くなりましたが,幸い締め切られていませんでしたので補足回答します。


まず,「概観できるような説明」ということでしたので,このゲーム自体の説明を書いてしまったのですが,どうやら既に先刻ご承知,どころか詳しくご存じのようで,全くの無駄になってしまいました。
「このゲーム自体は知っているのだが」とか「手元に塵劫記はある」などと書かれていれば,こんな初心者向けの回答はしなかったでしょうが…。

>塵劫記にあるという記述はほかでも見たことがありますが本当でしょうか。
本当です。

>いつころの「塵劫記」でしょうか。
私が持っているのは岩波文庫版ですので,寛永20年版が定本です。

>岩波文庫の「塵劫記(吉田光由著 大矢真一校注 岩波書店)」(1977年10月17日)は手元にありますが該当する項目は見当たりません。
いま私の手元にあるものは1977年11月10日第2刷発行となっていますが,ありませんか?
「新編塵劫記三」の中に「第十三 百五げんといふ事」という項目があります(228~229ページ)。

>近日中に国会図書館に行ってみようと思いますがここにあるという図書館名と書名を明確に示していただけないでしょうか。
このような大きな項目が第1刷で脱落していて第2刷で追加されたということはちょっと考えにくいのですが,書名はすでに明確に記しました。
図書館名まで記す必要があるでしょうか? おそらく日本中どこの図書館にいっても同じと思われますが。
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この回答へのお礼

ありがとうございましたありました。
申し訳ありません。

お礼日時:2002/08/20 15:43

では簡単に。



百五減算とは,江戸時代の有名な数学書「塵劫記」に出ている数当てゲームです。

まず相手に100以下の自然数を一つ思い浮かべてもらいます。(本当は105以下だが,105というといかにも何やら意味ありげなので100といったほうが無難かも)
それを3で割った余りを言ってもらいます。これをaとします。
同様に,5で割った余り,7で割った余りも言ってもらい,それぞれb,cとします。

そこまで聞いたら,70a+21b+15cを105で割った余りを頭の中で計算します。
そして,「あなたの思い浮かべた数はこれでしょう」と,その数を答えれば,相手はびっくり,というゲームです。
「百五減算」の名称の由来は,70a+21b+15cを105で割った余りを求めるとき,割り算の代わりに105を引けるだけ何度も繰り返し引く,という方法からきています。

奥村晴彦著「C言語による最新アルゴリズム事典」(技術評論社)には,上記の計算が成り立つことの証明が掲載されています。
また,塵劫記そのものは,岩波文庫に収められていますが,残念ながら絶版です。図書館で探しましょう。

おもしろい例題とはなりませんでしたが,とりあえずこんなところでよろしいでしょうか。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
塵劫記にあるという記述はほかでも見たことがありますが本当でしょうか。
いつころの「塵劫記」でしょうか。
岩波文庫の「塵劫記(吉田光由著 大矢真一校注 岩波書店)」(1977年10月17日)は手元にありますが該当する項目は見当たりません。
近日中に国会図書館に行ってみようと思いますがここにあるという図書館名と書名を明確に示していただけないでしょうか。

計算の証明そのものは私にもできますが、
そのことを、小学生が自発的に理解できるような的確な誘導があるモデル的な良い問題が載っているような書物やサイトはないのでしょうか。
よろしくお願いいたします。

お礼日時:2001/08/13 00:57

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A、B、C、D、E

の5つの箱を並べる順列は

5! = 5x4x3x2x1 = 120 通り


さて、
A と B に 1の2つが入っていた場合、
AとBをこっそりと入れ替えても、中身見ても誰も気付きませんね。
つまり、
1、1、2、3、4 を箱に入れる時、
箱の並び順   箱を開けた時の中身
ABCDE   11423
BACDE   11423
で同じです。

EADCB   41321
EBDCA   41321
も同じです。

つまり 同じものが2つあるなら その2つの順列、
2! = 2 通り 
だけ重複している、ということですね。
120 ÷ 2 = 60 通り



さて、
1、1、2、3、4 ではなく、
1、1、2、3、3 を箱に入れる時、で考え直します。

3の2つの 順列は?
2! = 2 通り 
です。
A と B に 1の2つ が入っていた場合に限定しましょう、
さらに C と D に 3の2つ が入るとします。
CとDをこっそりと入れ替えても、中身見ても誰も気付きませんね。

ABCDE   11332
ABDCE   11332
で中身は同じです。

CEADB   32131
DEACB   32131
も同じです。

ここで
ABCDE   11332
BACDE   11332
ABDCE   11332
BADCE   11332
の違いまで考えると樹形図になって混乱します。

発想は逆です。かけ算ではなく割り算です。
全部違うと         120 通り
ABの中身が同じなら    120 ÷ 2 = 60 通り
ABの中身が同じもとで
 CDの中身が同じなら   120 ÷ 2 ÷ 2 = 30 通り

そこで、1通りのことも 1! 通りと表すと、
5 文字の中に      (5!)
1 が 2つ、      (2!)
2 が 1つ、      (1!)
3 が 2つ、      (2!)
の答えは、公式らしく表して
 5! ÷ (2!x1!x2!) = 120 ÷ 4 = 30 通り

以上が答えです。

(ご質問では 5C2 を 5P2 と書き間違っておられますね)



二度と忘れないために応用しましょう。
9 文字の中に      (9!)
P が 4つ、      (4!)
Q が 3つ、      (3!)
R が 2つ、      (2!)
あるとすると、
もはや樹形図で解くのは現実的ではありません。
答えは?


 9! ÷ (4!x3!x2!) = 362880 ÷ (24x6x2) = 1260 通り

実際の試験では時間が限られているので
 9! ÷ 4! = 9x8x7x6x5
6x2 と約分して 9x4x7x5
少し順番変えて   9x7x2x(2x5) = 63 x 2 x 10 =1260
とします。

一般式に置き換えると、
P が p個、      (p!)
Q が q個、      (q!)
R が r個、      (r!)
あると、
合計の文字数は
p+q+r 文字 ((p+q+r)!)
だからその並べ方は

(p+q+r)! ÷ (p!xq!xr!)

です。
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q=1
r=2
とすれば
30
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大学入試でよくあるのは PHOTOGRAPH とかですね。




10! ÷ (2!x2!x2!x1!x1!x1!x1!)
です。

A、B、C、D、E

の5つの箱を並べる順列は

5! = 5x4x3x2x1 = 120 通り


さて、
A と B に 1の2つが入っていた場合、
AとBをこっそりと入れ替えても、中身見ても誰も気付きませんね。
つまり、
1、1、2、3、4 を箱に入れる時、
箱の並び順   箱を開けた時の中身
ABCDE   11423
BACDE   11423
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