【数学－平方根】教えてください。ｎは100以下の自然数とする

ｎは100以下の自然数とする。 √3ｎの値は

自然数となるｎは、いくつあるか求めよ

【①2個 ②3個 ③4個 ④5個】

回答が2つあり、

【100までの自然数の中に平方数は、
1,4,9,16,25,36,49,64,81,100の10個
このうち3の倍数は、
9,36,81の3個】

の回答と

【√3aが自然数となるには
aが3を因数に持つ平方数であればよい
a=3×1²=3
a=3×2²=12
a=3×3²=27
a=3×4²=48
a=3×5²=75
a=3×6²=108は不適
したがって、5個】

の2つの回答がありました。どちらが正しいか、教えて頂けないでしょうか？

No.5 ベストアンサー 回答者： tekcycle 回答日時： 2020/06/25 13:00

なんとなく解答解説を眺めれば良いんじゃ無くて。

問題を読んで、ぱっと見よく判らないのでしょう。よく考えても判らないから質問しているくらいなので。
判らないときは、手を動かす。
ｎに1から100まで入れていけば良い。いざとなれば。
そうじゃなくても、1から10くらいまでは入れてみる。(この問題だと15か20だけど)
入れてみて、様子を見るのです。
それを、何にもしないで、解法は解法は、と悩むから、答が全く見えてこないの。
そのまんま解答解説だけ見ても、初見の類題が解けるようには、たぶんならない。解き方を少し変えてあるから。
実際そうでしょ？それで解けない解けない言ってる。
手を動かしてみる、試行錯誤してみる、具体的に数値を入れていってみる。
頭の良い人なら、√(３²×ｍ²)の形にすれば良いんだろう、と一目で気がつくかもしれませんが、もう少し頭の悪い人だと、
√(３×１)
√(３×２)
√(３×３)
おおこれか、
√(３×４)＝√(３×２²)＝２√３
？？？
√(３×５)はダメだろう、
√(３×６)＝√(３²×２)＝３√２
どうも、素因数分解が関係するなぁと。
√(３×７)
７が素数だから無いな。
√(３×８)＝√(３×２³)＝２√(３×２)
うーん、(３×２)が３×３になっていれば平方根の外に出せるのか、じゃぁ３の倍数について検討すれば良いのか。
√(３×９)＝√(３×３²)＝３√３
３の倍数なら何でも良いわけじゃ無い、６のときもそうだったけど。
３の倍数は、３×ｋと表すことができる。
√(３×３×ｋ)＝３√ｋ
じゃぁ√ｋが自然数になるには、ｋ＝ｍ²だったらうまくいくのでは。
じゃぁ次の３の倍数をみてみよう。
√(３×１２)＝√(３×３×４)＝３√４＝３√(２²)＝３×２＝６
おお、二つ目みっけ。
二つ目は、３×２²だった。じゃぁ一つ目は。３×１²だったのでは、と。
すると、予想では次は３×３²＝２７だけれど、さてどうだろう。
なんて計算してみるんです。
手を動かしているうちに、発見があるんです。
それを、手を動かさずに最初から解法を求めても、普段から手を動かした経験が全く足りない人では、一発で見つけられないのです。

また、その最初の答案は、検算を全くやってませんよね。その人もあなたも。
手を動かしてない。ただ頭でっかちに考えてみたというだけ。
考えてみたことが、正しいのか間違っているのかきちんと検討しなければならない。自然科学でも社会科学でもそうです。
社会主義共産主義は、頭でっかちに考えれば上手く行きそうなのだけれど、実際やってみたら、全く上手く行かない、のです。
頭でっかちに考えてみただけのものは、例えばこういうことになるかもしれないのです。

No.4 回答者： kmee 回答日時： 2020/06/24 20:37

○「どちらも間違い」

または
○「問題の間違い」


1.自然数x について、 √x が自然数になるのは、 xが自然数yの2乗の形になるときだけ。
√(3n) : √の横棒の下に「3n」が両方入っている
なら、上記1.で x=3n としたときの話になる。


1つ目の回答は、 x を「100以下の自然数」として、平方数となるx を列挙している。
しかし、元の問題ではnが「100以下の自然数」であるから、 は「3以上300以下の3の倍数」になる。
そのため「101から300の間にある自然数」が見落とされている。
また「9,36,81の3個」とあるが、これはx=3nの値であってnではない。
修正点:
・3nの範囲に注意して列挙する
・ちゃんと n の値を求めるところまでやる。


2つ目の回答には、今まで出てきていない a という文字が突然出てきている。

また 「√3aが自然数となるにはaが3を因数に持つ平方数であればよい」とあるが、
aが平方数なら、それに(平方数でない)3を掛けた 3a は「平方数ではない」。
また
「a=3×1²=3」 等と「aが3を因数に持つ平方数」と言っているのにそうなっていない。
修正点:
・変数はちゃんと揃える。
・説明文と式はちゃんと一致させる。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/06/24 20:08

7^2の3倍は100を超えるから

2^a・3^b・5^c
の形になるはず。但し
a、cは非負の偶数
bは1以上の奇数

たいした数では無さそうなので
nが100以下になるabcを列挙すると

abc=010, 012, 030, 210, 410
nに直すと
n=3、75、27、12、48

後者と同じ結論。

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/06/24 19:47

n=3×1²=3の場合 √(3n)=√(3×3×1²)=√9=3

n=3×2²=12の場合 √(3n)=√(3×3×2²)=√36=6
以下同様。

nが自然数で、(√3)n=√3×nだと、√3が無理数なので√3にどのような自然数をかけても有理数にはならない。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/06/24 19:30

最初勘違いしたけど、√(3n)のことね。

√(3n)であれば、5個のほうが正しい。

この回答へのお礼

すみません。それですと、√(3n)は自然数にならないのですが

解説お願いできないでしょうか？

お礼日時：2020/06/24 19:33